ecuación diferencial no lineal de primer orden

Question

¿Cómo puedo encontrar una solución exacta para este problema? ¿Existe alguna técnica para la no linealidad cúbica como en el caso de la ecuación diferencial de Bernoulli?
$y'=x^{3}y^{3}-1\\$

Answer 1

Sinceramente, no creo que las soluciones de tu EDO se puedan escribir en términos elementales.

En realidad, cualquier sustitución del tipo $u=y^\alpha$ no simplificará la EDO, ya que malvado término constante $-1$ .

No obstante, puedes buscar una solución en serie de potencias de tu EDO utilizando el Método de Frobenius Es decir:

• suponga que la solución de su EDO puede expandirse en una serie de potencias $\sum_{n=0}^\infty a_n\ x^n$ ,
• evaluar la expansión en serie de la potencia de $y^3(x)$ y $y^\prime (x)$ y los introducimos en la ODE,
• deducir de la EDO una relación de recurrencia para los coeficientes $a_n$ ,
• intentar demostrar que el radio de convergencia de $\sum_{n=0}^\infty a_n\ x^n$ es $>0$ ;

entonces la suma $y(x):=\sum_{n=0}^\infty a_n\ x^n$ será una solución analítica de su ODE.

Es fácil demostrar que si $y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n\ x^n$ entonces:

1. $y^3(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n\ x^n$ , donde $b_n:=\sum_{k=0}^n \sum_{h=0}^{n-k} a_k\ a_h\ a_{n-k-h}$ se satisface: $$\begin{cases} b_0=a_0^3\\ b_n = \frac{1}{n\ a_0}\ \sum_{k=1}^{n} (4k-n)a_k\ b_{n-k} \end{cases}$$
2. $y^\prime (x) = \sum_{n=0}^\infty (n+1)\ a_{n+1}\ x^n$ ,

por lo tanto, al introducir 1 y 2 en su ODE, se obtiene: $$a_1+2a_2\ x+3a_3\ x^2 + \sum_{n=3}^\infty (n+1)\ a_{n+1}\ x^n = -1 + \sum_{n=3}^\infty b_{n-3} x^n\; .$$ Igualando los coeficientes de las potencias similares de $x$ se obtiene: $$\begin{cases} a_1=-1\\ a_2=0\\ a_3=0\\ (n+1)\ a_{n+1} = b_{n-3} &\text{, for } n\geq 3 \end{cases}$$ es decir: $$\tag{1} \begin{cases} a_1=-1\\ a_2=0\\ a_3=0\\ a_{n+1} = \frac{1}{n+1}\ \sum_{k=0}^{n-3} \sum_{h=0}^{n-3-k} a_k\ a_h\ a_{n-3-k-h} &\text{, for } n\geq 3. \end{cases}$$ Tenga en cuenta que $a_0$ no puede determinarse mediante ( 1 ).

Ahora queda por resolver el problema de encontrar el radio de convergencia de la serie de potencias cuyos coeficientes vienen dados por ( 1 ).

Answer 2

Deberías notar que la ecuación diferencial de Bernoulli es de la forma $y'=f(x)y^n+g(x)y$ en lugar de la forma $y'=f(x)y^n+g(x)$ .

Acérquese a $1$ :

De hecho $y'=x^3y^3-1$ pertenece a una ecuación de Abel del primer tipo. Para encontrar su solución exacta, consulte http://www.hindawi.com/journals/ijmms/2011/387429/#sec2 .

Acérquese a $2$ :

Dejemos que $u=xy$ ,

Entonces $y=\dfrac{u}{x}$

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}\dfrac{du}{dx}-\dfrac{u}{x^2}$

$\therefore\dfrac{1}{x}\dfrac{du}{dx}-\dfrac{u}{x^2}=u^3-1$

$\dfrac{1}{x}\dfrac{du}{dx}=\dfrac{u}{x^2}+u^3-1$

Dejemos que $v=\dfrac{1}{x^2}$ ,

Entonces $\dfrac{du}{dx}=\dfrac{du}{dv}\dfrac{dv}{dx}=-\dfrac{2}{x^3}\dfrac{du}{dv}$

$\therefore-\dfrac{2}{x^4}\dfrac{du}{dv}=\dfrac{u}{x^2}+u^3-1$

$(uv+u^3-1)\dfrac{dv}{du}=-2v^2$

Esto pertenece a una ecuación de Abel del segundo tipo.