Que $f(x)=x^3-3x+1$. Encontrar el número de raíces reales distintas de $f(f(f(x)))=3$

Question

Que $f(x)=x^3-3x+1$. Encontrar el número de raíces reales distintas de $f(f(f(x)))=3$

¿He notado que $f(x)=3$ tiene soluciones $-1,-1,2$ pero aquí cómo encontrar más raíces? ¿de hecho como decir incluso que son raíces de $f(f(f(x)))=3$?

Si alguien tiene material para compartir sobre este tipo de problemas que implican iteraciones, por favor hágalo.

Answer 1

Sugerencia: Mira la gráfica de $f$ y tenga en cuenta que $f(x)=a$ tiene soluciones de $3$ $a\in (-1,3)$, soluciones de $2$ $a=-1,3$ $1$ solución de lo contrario.

Answer 2

Sugerencia: un polinomio de grado $d$ $d$ raíces, contados por la multiplicidad. Las raíces de multiplicidad $> 1$ son raíces de la derivada.

EDIT: OK, a no ser sádico, aquí hay algunos detalles más. Las raíces de $f'$$\pm 1$; tenemos $f(1) = -1$$f(-1) = 3$. Por lo $3$ y su inversa imágenes puede verse en el siguiente árbol, donde una flecha roja indica una doble raíz.

Las hojas del árbol corresponden a las distintas raíces de $f(f(f(x)))-3$, y $15$ de ellos.

Answer 3

Escribo $a$ $\{a\}$. La figura en la respuesta de lhs muestra que $$f^{-1}(3)=\{-1,2\}\ .$ $ uno entonces obtiene, observando la misma figura,$$ f^{-1}(-1)=\{-2,1\},\quad f^{-1}(2)=\{\xi_1,\xi_2,\xi_3\} $$\xi_1<-1,\quad -1<\xi_2<0,\quad 1<\xi_3<2\ .$ $ mirando en la misma figura otra vez, conseguimos$$ f^{-1}(-2)=\xi_4<-1,\quad f^{-1}(1)=\{\xi_5,0,\xi_6\},$$ $%$ $f^{-1}(\xi_1)=\xi_7,\quad f^{-1}(\xi_2)=\{\xi_8,\xi_9,\xi_{10}\},\quad f^{-1}(\xi_3)=\{\xi_{11},\xi_{12},\xi_{13}\}\ .$sigue que el conjunto de $f^{-3}(\{3\})\cap{\mathbb R}$ tiene $11$ elementos. Esto es confirmado por la siguiente salida de Mathematica:

Answer 4

Indicar $f(f(x))=a$. ¿Ahora usted puede fácilmente resolver $f(a)=3$, derecho? El proceder de la misma manera.

No creo que un enfoque general aquí ya $f(f(f(x)))$ es un polinomio de grado 27, que es demasiado alta.

Answer 5

El mensaje original no el estado si las raíces fueron para ser real o complejo. Tomando las ideas de aquí y de lhs' solución ofrece una buena solución para el caso real.

Considere lo siguiente: las raíces de La $f'(x)=3x^2+3$ $\pm 1$. $f(1)=-1$ y $f(-1)=2$. Por lo tanto, si $a\not=-1,3$, $f(x)=a$ $3$ distintas raíces.

Para $f(x)=3$, hay dos raíces ($-1$ con multiplicidad $2$ $2$ con multiplicidad $1$). Del mismo modo, para $f(x)=-1$, hay dos raíces ($-2$ con multiplicidad $1$ $1$ con multiplicidad $2$).

Trabajamos hacia atrás:

• Paso 1: a partir de $f(x)=3$, podemos ver que hay dos raíces, $-1$$2$.

• Paso 2: $f(x)=-1$ tiene dos raíces, $-2$ y $1$. $f(x)=2$ ha $3$ distintas raíces como $3$ no $-1$ o $2$. Ninguna de las raíces de $3$ $2$ o $-1$.

• Paso 3: Hay $5$ raíces en el paso $2$, ninguno de los cuales se $-1$ o $2$. Por lo tanto, cada uno de ellos ha $3$ preimages, que conduce a $15$ posibles valores de $x$.