En cuanto a conjuntos de medida cero (Lebesgue)

Question

Tal vez esto tenga una respuesta simple, pero no lo sé (no estaría preguntando si la supiera). Cada conjunto de medida exterior cero es medible de Lebesgue con medida de Lebesgue cero. ¿Es cierto lo contrario? Es decir, si un conjunto tiene medida de Lebesgue cero, ¿necesariamente tiene medida exterior cero?

Y supongo que debo especificar que estoy pensando en $\mathbb{R}^n$.

Answer 1

Si $\mu^{*}$ es una medida externa, entonces definimos los conjuntos medibles en términos de $\mu^{*}$; la medida es entonces definida como la restricción de la medida externa a los conjuntos medibles.

Para ser más explícitos: si tienes un $\sigma$-álgebra y una medida externa $\mu^{*}$ en el álgebra, entonces decimos que un conjunto $E$ es $\mu^{*}$-medible si y solo si para cada $A$ en el $\sigma$-álgebra, $$\mu^{*}(A) = \mu^{*}(A\cap E) + \mu^{*}(A\cap E').$$

Como dice Halmos en su libro Teoría de la medida,

Es bastante difícil entender intuitivamente el significado de ser $\mu^{*}$-medible excepto a través de la familiaridad con sus implicaciones.

Una vez que tienes la definición de ser $\mu^{*}$-medible, entonces deja que $S$ sea el conjunto de todos los conjuntos medibles, y define la medida $\mu$ en $S$ por $\mu(E) = \mu^{*}(E)$ para todo $E\in S

.

En particular, esto vale para la medida de Lebesgue: si $E$ es Lebesgue medible, entonces la medida de Lebesgue de $E$ es igual a la medida externa de $E, porque la medida de Lebesgue de $E$ está definida como la medida externa de $E$. Esto vale para cualquier medida de Lebesgue, no solo para medidas $0$

.

El punto del teorema que mencionas antes es que tener medida externa cero implica que el conjunto es medible; esa es la parte no trivial de la afirmación (no que la medida de Lebesgue del conjunto sea entonces cero).