Pregunta: Vamos a $X$ ser afín variedad de más de $\Bbb C$, y deje $Y\subseteq X$ ser un edificable conjunto (es decir, $Y$ es un número finito de la unión local de conjuntos cerrados). Es cierto que el cierre de Zariski de $Y$ es el mismo que el cierre de $Y$ en la norma Euclidiana de la topología heredada de la inclusión $X\subseteq\Bbb C^n$?
En esta pregunta me preguntó si estos dos cierres era el mismo al $Y$ es de la órbita de una expresión algebraica grupo de acción. Entonces, esta respuesta dice que la respuesta es sí, porque órbitas son construibles de conjuntos. Sin embargo, no sé una prueba del hecho de que estos órbita cierres son las mismas para edificable conjuntos.
Si $\bar{Y}^E$ denota la distancia euclídea cierre y $\bar{Y}^Z$ el Zariski, es claro que $$\bar{Y}^E\subseteq \bar{Y}^Z$$ dado que la topología Euclidiana es más fina que la topología de Zariski. Pero por el contrario, estoy desorientado.
Respuesta
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Sí que es cierto. Usted probablemente sabe que no está vacío Zariski-conjunto abierto $U\subseteq X$ es Zariski-denso, y es un estándar de hecho de que $U$ es también Euclidiana-denso. (Ver este mathoverflow respuesta para una mancha de la prueba de ese hecho.) En este supuesto, la prueba de su afirmación es simple:
Wlog, $Y$ a nivel local es cerrado, ya que el cierre de un número finito de unión es la unión de los cierres. Entonces, por definición, $Y$ es Zariski-abierta en $\bar{Y}^Z$ y, por tanto, $Y$ es la Euclídea-denso en $\bar{Y}^Z$, es decir,$\bar{Y}^E\cap\bar{Y}^Z=\bar{Y}^Z$. Desde $\bar{Y}^E\subseteq\bar{Y}^Z$, esto concluye la prueba.
