Esto sólo demuestra que los rangos deben superponerse. De hecho,
el rango de $\phi$$\psi$$\mathbb{R}$.
Sin pérdida de generalidad, podemos tomar la $f$ a ser positiva en todas partes. Por lo tanto ambos $\phi,\psi$ son estrictamente creciente.
Deje $\psi_\infty = \lim_{t \uparrow \infty} \psi(t)$, y supongamos $\psi_\infty < \infty$.
Deje $\psi_\infty = \lim_{t \uparrow \infty} \psi(t)$. Desde $f$ es continua, se debe tener $f(\psi_\infty) = \lim_{t \uparrow \infty} f(\psi(t))$. Desde $f(\psi_\infty)>0$, debemos tener $\lim_{t \uparrow \infty} \psi(t) = \infty$, una contradicción. Por lo tanto $\psi_\infty = \infty$.
Los otros límites siga exactamente de la misma manera.
La singularidad era más sencillo que yo pensaba. De ello se desprende del hecho de que $f(x) \neq 0$:
Supongamos $x_0 = \phi(t_0) $. Deje $g(x) = \int_{x_o}^x { dy \over f(y) }$. Tenga en cuenta que$g(x_0) = 0$$g'(x) = {1 \over f(x) } \ne 0$. El teorema de la función inversa da la existencia de una función de $\gamma$ definida en una vecindad $U$ $0$ tal que $\gamma(g(x)) = x$ $x \in V$ donde $V$ es de algún barrio de $x_0$.
Ahora considere el $f(t) = g(\phi(t))$. A continuación,$f(t_0) = 0$, e $f'(t) = g'(\phi(t)) \phi'(t) = 1$, y por lo $f(t) = t-t_0$. Por tanto, para $t-t_0 \in U$ tenemos $\gamma(f(t)) =\gamma(t-t_0) = \phi(t)$.
Supongamos $\psi$ es otra solución que pasa a través de $(t_0, x_0)$, entonces el
mismas consideraciones muestran que la $\psi(t) = \gamma(t-t_0) = \phi(t)$$t-t_0 \in U$.
Deje $T\subset \mathbb{R}$ ser los puntos en los que dos continuo de soluciones de partido. Este conjunto es cerrado por la continuidad, y abierto por el anterior razonamiento, por lo tanto, ya $\mathbb{R}$ se conecta bien $T$ está vacío o el espacio entero.
Dado que los rangos de $\phi, \psi$ se superponen, hay puntos de $t_0,t_1$ tal que $\phi(t_0) = \psi(t_1)$. Dado que el sistema es invariable en el tiempo, si $\phi$ es una solución, entonces se $t \mapsto \phi(t-s)$ fijos $s$. Por lo tanto $t \mapsto \phi(t+t_0)$ $t \mapsto \psi(t+t_1)$ son las dos soluciones que pasan por el punto de $(0,\phi(t_0)) = (0,\psi(t_1))$. En consecuencia, $\phi(t+t_0)=\psi(t+t_1)$ todos los $t$, de la cual obtenemos $\psi(t) = \phi(t+t_0-t_1)$ todos los $t$.
