Intersección con divisor canónica

Question

Que $X\longrightarrow \mathbb P^1$ ser una ellipic racional. En el libro "lápices de curvas cúbicas y superficies elípticas racionales" (por C.T.C.Wall) se afirma que CK < 0, donde C es una curva no contenida en una fibra y K es un divisor canónico en X. No puedo verlo, alguien me puede ayudar?

Answer 1

La clase canónica de una superficie elíptica racional es la negativa de la clase de fibra. Ahora consideremos cualquier curva irreducible $C \subset X$ y su imagen bajo $X \to \mathbb{P}^1$. Esta imagen es un punto, en cuyo caso $C$ está contenida en una fibra, o $\mathbb{P}^1$, en cual caso $C$ debe intersectar la clase fibra positivamente.