En la mayoría de los libros de texto de física que he encontrado esta demostración de trabajo-energía cinética teorema:
$$\begin{align} W &= \int_{x_{1}}^{x_{2}} F(x)\ dx \tag{1}\\ &= \int_{x_{1}}^{x_{2}} m\cdot a\ dx \tag{2}\\ &= m\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{dv}{dt}\ dx \tag{3}\\ &= m\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}\ dx \tag{4}\\ &= m\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{dv}{dx} \cdot v \ dx \tag{5}\\ &= m\int_{v_{1}}^{v_{2}} v \ dv \tag{6}\\ &= \frac{1}{2}mv_{2}^{2} - \frac{1}{2}mv_{1}^{2} \tag{7} \end{align}$$
No entiendo cómo ir de (5) a (6). Parece que cancelar el dx como si fueran algebraica de los elementos. Sé de cálculo que $\int f(g(x))\cdot g'(x)\ dx = F(g(x))$ donde $f(x)=F'(x)$ porque estamos aplicando la regla de la cadena invertida. Y en orden a ello, la notación de Leibniz nos puede ayudar. Si definimos $u=g(x)$ y el "diferencial" $du=g'(x)dx$ el ex integral se convierte en $\int f(u)\ du = F(u)$. Pero du y dx no existen, son sólo una notación que usamos para darse cuenta más fácilmente de lo que podemos encontrar la antiderivatives la aplicación de la regla de la cadena invertida. Así que, ¿cuáles son las verdaderas operación matemática que están haciendo entre (5) y (6)?
