Localmente o globalmente Lipschitz-funciones

Question

Determinar si la siguiente función cumple un local o un uniforme de la condición de Lipschitz. La definición de localmente Lipschitz y globalmente lipschitz son como sigue:

(i) decimos que f es (uniformemente) de Lipschitz con respecto a y, o, simplemente, en y, en $A\subset U$ si existe una constante L tal que $||f(t,x)-f(t,y)||\leq L ||x-y||$, siempre que $(t,x)$ $(t,y)$ están en A.

(ii) f es localmente Lipschitz en y si para cada a $(t_0, y_0) \in (c,d) \times U$, existe un entorno V de a $(t_0, y_0)$, (es decir,$V = \{f(t,y) \in(c,d) \times U : ||t-t_0|<a \ \text{and} \ |y-y_0|\leq b\}$) y una constante K = K(V) tal que $||f(t,x)-f(t,y)||\leq K||x-y||$ para cualquier $(t,x),(t,y) \in V$

1) $t^2|y|$.

Así, para este problema, hice lo siguiente: $|f(t,x)-f(t,y)|=|(t^2|x|-t^2|y|)|=t^2||x|-|y||\leq t^2|x-y|$. Esta muestra a partir de la segunda definición que esta función es localmente lipschitz ya que, al variar t, nuestros obligado cambios ($t^2$ es la K a partir de la definición). Es esto correcto? Cómo voy a ir yo de mostrar que esto es\no es uniformemente lipschitz?

2) $\frac{y}{1+y^2+t^2}$

Para esto, he intentado seguir un método similar.

$|\frac{x}{1+x^2+t^2}-\frac{y}{1+y^2+t^2}|=|\frac{t^2(x-y)-x^2y+x(y^2+1)-y}{(1+x^2+t^2)(1+y^2+t^2)}| \leq |t^2(x-y)-x^2y+x(y^2+1)-y|$.

Entonces me quedé atrapado.

Answer 1

En el primer caso, es necesario especificar el conjunto de $A$. En general, 1) no es uniformemente de Lipschitz.

Supongamos $A$ es tal que no existe una desenfrenada secuencia $t_n$, y abrir conjuntos de $U_n$ tal que $\{t_n\} \times U_n \subset A$. A continuación, la función de $f(t,x) = t^2|x|$ no es uniformemente de Lipschitz. Para ver esto, elija $L>0$ y elija $t_n$ tal que $t_n^2>L$. Elija $x,y \in U_n$ tal que $x,y$ son diferentes y tienen el mismo signo ($U_n$ es abierto, por lo que este puede hacer). A continuación,$|f(t_n,x)-f(t_n,y)| = t_n^2||x|-|y|| = t_n^2 |x-y|> L |x-y|$.

Caso 2) es más sencillo. Si $f(t,x) = \frac{x}{1+x^2+t^2}$,$\frac{\partial f(t,x)}{\partial x} = \frac{1-t^2-x^2}{(1+t^2+x^2)^2}$, a partir de la cual se ve fácilmente que $|\frac{\partial f(t,x)}{\partial x}| \leq 1$ cualquier $x,t$. Luego de una rápida aplicación del valor medio teorema da $|f(t,x)-f(t,y)| \leq |x-y|$ cualquier $t,x,y$. Por lo tanto, esta es uniformemente de Lipschitz.