Estoy leyendo un libro y venir a través de algo que no puedo comprobar o corregir. La suposición es que el $\Omega_1, \Omega_2, ...$ es una secuencia de conectado abierto pone en $\mathbb{R}^n$ que convergen en Hausdorff distancia a abrir conectado set $\Omega$. Después de esto, el texto se lee "Para mayor comodidad, nos vamos a $\phi_j : \Omega \to \Omega_j$ ser diffeomorphisms tal que el $\phi_j$ convergen a la identidad en un adecuado topología."
Mi pregunta es ¿por qué podemos decir que estos diffeomorphisms existe o ¿cómo podemos ajustar el supuesto de que existan.
Para ilustrar mi preocupación, he aquí un ejemplo que muestra que, como se dijo, el de arriba no puede ser cierto. Deje $B(a, r)$ denotar la pelota en $\mathbb{R}^n$ centro $a$ y radio de $r$. Deje $S_n = B(0, 1) - \overline{B(0, \frac{1}{n})}$. A continuación, $S_n$ converge a (o se acumula a) $B(0,1)$ en la distancia de Hausdorff. Pero para el no $n$ $S_n$ $B(0,1)$ diffeomorphic, en el hecho de no $n$ son homeomórficos ya que se puede calcular la homología de grupos para $S_n$ $B(0,1)$ y ver que son diferentes.
