Differentiability vs tener un derivado

Question

En algunos cálculos textos, uno viene a través de la siguiente declaración: "Una función es diferenciable, si tiene una derivada y una función tiene derivada, si es diferenciable.". Dos de esos textos - Un tratado de Cálculo Avanzado por Felipe Franklin(este libro se puede encontrar en archive.org - comprobación de la sección 69 - Página 109) y Cálculo Avanzado - Una Introducción al Análisis Lineal por Leonard F. Richardson - Capítulo 4 - Página 101. Analítica de las pruebas también se dan para justificar estas afirmaciones.

Esto plantea la pregunta - ¿Cuál es la diferencia física entre el ser diferenciable y tener un derivado?

El libro de Leonard Richardson da alguna de las analíticas de explicación acerca de la existencia de una función lineal, la cual se aproxima a la función en puntos muy cercanos a x. Si una función existe, entonces la función se dice diferenciable(y luego se pasa a demostrar analíticamente que la función tiene un derivado y viceversa). El problema es que todo el que la prueba es anlaytic, y no es ilustrado mediante un ejemplo práctico. Cuando decimos que una función es diferenciable, por lo general, comprobar la existencia de su derivada (he.e el límite de su coeficiente diferencial). Pero este texto 'implica' que su posible comprobar el la diferenciabilidad de una función mediante la comprobación de la existencia de una función lineal(cuya pendiente como lo has adivinado se convierte en la derivada en el límite). Así que lo que esencialmente es la diferencia entre este enfoque y en el enfoque estándar? Parece puramente algebraica para mí....O hay más?

Una pregunta relacionada es - ¿cuál es la diferencia entre Caratheodory la definición de la derivada y el estándar de la definición de la derivada?. La diferencia parece puramente algebraica para mí.Me gustaría saber si hay más a él.(Creo que la respuesta a esta pregunta está estrechamente relacionada con la primera, pero desde Caratheodory la definición rara vez es cubierto en la mayoría de los estándar de cálculo de los textos, me he decidido a obtener el máximo de información posible, sobre este tema.)

Yo no soy de las matemáticas importantes, por lo que hay límites a mi pensamiento teórico! Les agradecería mucho si la práctica se proporcionan ejemplos para ilustrar estos conceptos.

Answer 1

Para la segunda pregunta, no hay ninguna diferencia entre las dos definiciones - este es un ejercicio simple. Para la primera, no hay ninguna diferencia. Se ha definido la diferenciabilidad a través de la existencia de un mapeo lineal que aproxima a la función cerca de $x.$ La derivada es simplemente la matriz que representa esta función; la prueba dada en Franklin libro que las dos son equivalentes, es porque él define básicamente diferenciable multiplicando ambos lados del límite de la definición de un derivado por $\Delta x,$ que va a$0,$, por lo que puede no ser del todo claro usted puede hacer esto (si no estás acostumbrado a este tipo de cosas). De todos modos, no hay ninguna diferencia.

Por tu comentario anterior, si se define una fruta con ciertas características como una manzana, entonces usted tiene una fruta que tiene las características que se observan fácilmente a ser equivalente, deberá demostrar que las características son equivalentes antes de la conclusión de que es una manzana. Esto es lo que estamos haciendo, es un trivial de la declaración, pero por el bien de un "riguroso" de libros de texto, lo han hecho.

Como editar: Si usted tiene una función LINEAL que aproxima a la función de $f$ usted está mirando arbitrariamente cerca de un punto, esta es la recta tangente a en $2$-dimensiones - ahora, la función tiene una pendiente; este es el derivado. En las dimensiones superiores, usted tendrá una hyperplane que se aproxima a este punto - hyperplanes se traduce de un mapeo lineal; lineal asignaciones de admitir una representación de la matriz. Esta es su derivada.

Answer 2

Usted está haciendo una gran cosa de la nada. No hay ninguna diferencia. Una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ se dice que es diferenciable en $a$ si existe el siguiente límite

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$

Si el límite anterior existe, entonces se llama el derivado de $f$ $a$, denotado como $f'(a)$. Eso es todo allí está a él.