Un problema complejo.

Question

Tenemos un conjunto de $S:= \{e^{inr\pi} | n\in\Bbb N\}$. Donde r es un número irracional. Me pregunto si este conjunto es denso en $\partial D(0,1)$. es decir, quiero ver si $\overline S=\partial D(0,1).$

Creo que podemos demostrar que el conjunto de los argumentos de $S$ $[0,2\pi]$ es densa. Y como $r$ es irracional, podemos mostrar que $\forall \epsilon \exists n\in \Bbb R$ s.t. $e^{inr\pi}$ tiene argumento en $(0,\epsilon).$ O, equivalentemente, $nr\pi \equiv \epsilon(mod 2\pi)$

También quiero saber si $r\in \Bbb Q$ entonces, ¿Qué podemos decir acerca de la declaración de arriba!!

Answer 1

Voy a probar el siguiente instrucción a partir de la cual podrá deducir fácilmente su resultado :

El conjunto $ A =\{ n + kr \ | \ (n,k) \in \mathbb{Z}^2 \}$ es un denso subgrupo de $\mathbb{R}$ siempre $r$ es irracional.

1) es obvio Que es un subgrupo de $(\mathbb{R},+)$, ya que contiene la $0$ y es estable por la ley $+$.

2) Supongamos $\inf (A \cap \mathbb{R}^*_+ ) > 0 $. Entonces existe $a\in A$ tal que $ a = \inf (A \cap \mathbb{R}^*_+ )$, de lo contrario existiría un uncreasing secuencia de distincts elementos de $A \ $ $a_n > a$ la convergencia a la $a$. Pero, a continuación, $a_n - a_{n-1} > 0$ $0$ $n$ va al infinito (porque $(a_n)$ es de Cauchy o de cualquier otro argumento mediante la cuantificación de la convergencia de las secuencias). Pero desde $A$ es un subgrupo $a_n - a_{n+1}$ pertenece a $A \cap \mathbb{R}^*_+$ todos los $n$. Y, a continuación,$\inf (A \cap \mathbb{R}^*_+ ) = 0 $.

Por lo $\inf (A \cap \mathbb{R}^*_+ ) = a $ pertenece a $A$. A continuación,$a \cdot \mathbb{Z} \subset A$. Supongamos $A \neq a \cdot \mathbb{Z}$. Entonces no existe $k \in \mathbb{Z}$ $b \in A$ tal que $ka < b < (k+1)a$. Pero, a continuación,$0 < b - ka < a$, $b - ka \in A$ y $\inf (A \cap \mathbb{R}^*_+ ) = a $. Esto es absurdo por lo $A = a \cdot \mathbb{Z}$.

Ahora $r = ka$ $1 = k'a$ $k$ $k'$ cero enteros. A continuación, $r = \frac{k}{k'}$ lo cual es absurdo, ya que hemos supuesto $r$ irracional.

Por lo $\inf (A \cap \mathbb{R}^*_+ )$ debe $0$. Ahora vamos a comprobar que $A$ es denso en $\mathbb{R}$. Deje $x \in \mathbb{R}$$\epsilon > 0$. Sólo tenemos que demostrar que existe $c \in A$ pertenecientes a $]x-\epsilon, x + \epsilon[$. Desde $\inf (A \cap \mathbb{R}^*_+ )= 0$ existe $\alpha \in A$ tal que $0 < \alpha < \frac{\epsilon}{3}$. Supongamos que el conjunto de $\{k\alpha \ | \ k\in \mathbb{Z}$ no cumple $]x-\epsilon, x + \epsilon[$. Entonces existe $n \in \mathbb{Z}$ tal que $n\alpha < x- \epsilon < x + \epsilon < (n+1)\alpha$. A continuación, $\alpha > 2 \epsilon$ lo cual es absurdo. Soit $A$ cumple con $]x-\epsilon, x + \epsilon[$. Desde $x$ $\epsilon$ son indeterminadas, nos han demostrado que, a $A$ es un subconjunto denso de $\mathbb{R}$.