Encuentra todos los enteros positivos satisfacción $\frac{2^n+1}{n^2} =k $

Question

Encuentra todos los enteros positivos satisfacción %#% $ #%

donde $$\frac{2^n+1}{n^2} =k $ es un número entero.

Simplemente no puedo ir con una solución.

Answer 1

Este problema es muy famoso en el mundo de la Olimpiada de matemáticas(apareció en la OMI 1990 , Problema-3) . Este problema es famoso, porque es también muy fácilmente solucionable mediante el uso de Levantar el exponente lema Si usted no sabe acerca de este lema sin embargo, luego de leer este artículo, usted nunca se arrepentirá.

De lo contrario, consulte este.

Answer 2

Este es un caso especial de la Landau-Ostrowski ecuación Diophantine $$ ay^2+by+c=dx^n $$ con $x=2$, $y=n$, $c=-1$, $b=0$, $d=1$ y $a=k$, es decir, $kn^2-1=2^n$. Tiene las soluciones $(n,k)=(1,3),(3,1)$. De esta manera se sigue, por ejemplo, del Teorema $L$ en el papel Sobre el número de soluciones de la generalizada Ramanujan-Nagell ecuación por Y. Bugeaud.

En general, se tiene a lo sumo un número finito de soluciones $x,y$ $n\ge 3$, si $a,d\neq 0$$b^2-4ad\neq 0$, ver Landau, Ostrowski: Proc. Londres Matemáticas. Soc. 19, no. 2, 276-280, (1920).

Answer 3

Queremos encontrar los $n\in\mathbb N$ (se excluyen las $0$).t.

$$2^n=kn^2-1,$$

con entero $k$. Para ello, presentamos las curvas de $y_1(n)=2^n$$y_k(n)=kn^2-1$, con un real no negativo de la variable $n$ y se estudian sus intersecciones. Estamos interesados en el entero de las intersecciones. Hagamos esto.

• $k = 0$

Estamos a la izquierda para solucionar $2^n=-1$, que no tiene solución.

• $k=1$

Vamos a estudiar el entero de soluciones de $2^n=n^2-1$. Es fácil ver que $n=3$ es la única solución. La singularidad está demostrado geométricamente; $y_1(n)=n^2-1$ es monótona creciente función continua, con $y_1(3)=2^3$, como se ha dicho; se encuentra por debajo de $y(n)=2^n$ todos los $n<3$, mientras que para todos los $n>3$ tenemos $y_1(n)>2^n$ (dibuje un diagrama de convencerse a sí mismo).

• $k=2$

Vamos a estudiar el entero de soluciones de $2^n=2n^2-1$. Para hacerlo nos damos cuenta de que $y_2(1)=1$, mientras que $y(1)=2$, e $y_2(2)=7$, mientras que $y(2)=4$. Como ambas funciones son monótona creciente (y continua), entonces su punto de intersección se encuentra entre el$1$$2$: como no puede ser un número entero, entonces nosotros no tenemos la solución en este caso.

• $k=3$

Este caso es más fácil que el anterior, como $y_3(1)=2=y(1)$. Por lo $n=1$ es un número entero solución y es la única debido a motivos geométricos como el anterior (saca una foto).

• $k>3$

Estamos a la izquierda para solucionar $2^n=kn^2-1$$k>3$; $y_k(1)=k-1>y(1)=2$ (estamos considerando $k>3$), entonces el punto de intersección entre el $y_k(n)$ $y(n)$ se encuentra entre $0$$1$. No puede ser un número entero y nosotros no tenemos la solución en este caso.