Autovalores del bloque específico de matrices

Question

¿Hay alguna relación simple entre los valores propios (o de la característica polinomios) de dos matrices $A$ $B$ con la de la matriz $C$ se define como $$C=\begin{bmatrix} 0 & A \\ B & 0 \end{bmatrix}.$$ $A$ $B$ son invertible $n\times n$ matrices.

Answer 1

Tenemos $$\det (C-\lambda I)= \det\begin{bmatrix}-\lambda I&A\\B&-\lambda I\end{bmatrix} = \det(\lambda^2 I-AB).$$ Por lo tanto, los autovalores de a $C$ son las raíces cuadradas de los valores propios de a $AB$. Así, ellos dependen de los valores propios de a $AB$ más que el individuo autovalores de a$A$$B$.

Answer 2

Dados dos vectores $u,v \in \mathbb{R}^n$ deje $w=\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{2n}$ ser el vector cuyos primero $n$ componentes son los de $u$ y cuyo último $n$ son los de $v$.

La matriz-vector producto $C\cdot w$ da \begin{equation*} $$\begin{bmatrix} 0 & A \\ B & 0 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} Av \\ Bu \end{bmatrix}$$ \end{ecuación*} Por lo tanto, la solución de $Cw = \lambda w$ se reduce a la solución de los siguientes \begin{equation*} \begin{cases} Av = \lambda u \\ Bu = \lambda v \end{casos} \end{ecuación*} Desde $A$ $B$ es invertible, se deduce que el $v=\lambda A^{-1}u$$u=\lambda B^{-1}v$: \begin{equation*} \begin{cases} Av = \lambda \cdot \lambda B^{-1}v \\ Bu = \lambda \cdot \lambda A^{-1}u \end{casos} \rightarrow \begin{cases} BAv = \lambda^2 v \\ ABu = \lambda^2 u \end{casos} \end{ecuación*} Llegamos a la conclusión de que $\lambda\in\mathbb{C}$ es un autovalor de a $C$ fib $\lambda^2$ es un autovalor de a $AB$ (o $BA$, ya que coinciden).

(Por cierto, esta solución cubre sólo el caso en que $A$ $B$ son invertible matrices, pero como se muestra por user1551 que no es necesario)