La conjetura es como sigue: En $\mathbb{C}^{n}$ existe $\{v_1,\cdots,v_{n^2}\}$ de manera tal que el siguiente se tiene: $$ \left| \left \langle v_i, v_j \right \rangle \right| = \begin{cases} 1 & i = j\\ \frac{1}{n+1} & i \ne j\end{cases}$$ Tengo una prueba para al $n = 2$, básicamente lo que hice es de suponer sin pérdida de generalidad que uno de los vectores es $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, y la fuerza bruta el resto de los vectores. Me pregunto donde esta la construcción de falla cuando se $n \ge 3$, o tiene la conjetura ha sido probada? Me parece que no puede encontrar literatura que se ha demostrado en Internet aunque.
Respuesta
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Aquí está una actualización reciente, con una prueba de que zauner se impuso la conjetura (la existencia la existencia de $n^2$ equiángulo líneas en $n$ dimensiones complejas) tiene por $n\leq 67$: SIC-POVMs: Un nuevo equipo de estudio (2010).
Queda abierta la cuestión de si la conjetura es verdadera en todas las dimensiones. Una idea de la dificultad de la conjetura es dado en La Mentira Algebraico Significado de Simétrica Informationally Mediciones Completas (2011). Ver también este MO post y http://physicsoverflow.org/382
Este blog a partir de 2015 da más de fondo.
