Bijection entre la libre homotopy clases de $[S^{n},X]$ y el espacial en órbita $\pi_n/\pi_1$

Question

Me gustaría demostrar que no es un bijection entre la libre homotopy clases de $[S^{n},X]$ y el espacial en órbita $\pi_{n}(X,x_{0}) / \pi_{1}(X,x_{0})$ donde la acción de la $\pi_{1}(X,x_{0})$ $\pi_{n}(X,x_{0})$ es la usual. ¿Hay algún corto, prueba de ello?

Contexto:

• $\pi_n(X,x_0)$ (en particular, cuando se $n = 1$) es el $n$th homotopy grupo, y puede ser visto como el conjunto de mapas de $S^n \to X$ mapa el punto base de la $S^n$$x_0$, hasta homotopy, donde el homotopies preservar la base de puntos.
• $[S^n, X]$ es el conjunto de mapas de $S^n \to X$ hasta homotopy, donde el homotopies no necesariamente conservar el punto base.
• La acción de la $\pi_1(X,x_0)$ $\pi_n(X,x_0)$ se da de la siguiente manera: pizca $S^n$ conseguir $S^n \to S^n \vee S^n$, y el colapso de las latitudes de la primer factor para obtener $S^n \to [0,1] \vee S^n$. Luego se le da $[\gamma] \in \pi_1(X,x_0)$ y $[f] \in \pi_n(X,x_0)$, $[\gamma] \cdot [f]$ puede ser visto como la composición de $S^n \to [0,1] \vee S^n$ y la concatenación de $\gamma$ ($[0,1]$$f$($S^n$).

Answer 1

Supongamos $X$ es la ruta de acceso conectado, de lo contrario el resultado es claramente falso^*. Deje $* \in S^n$ ser el punto base. Por simplicidad vamos a $\pi_n := \pi_n(X,x_0)$$\pi_1 := \pi_1(X,x_0)$.

Deje $\varphi : [S^n, X] \to \pi_n / \pi_1$ ser el mapa que se define como sigue. Supongamos $[f] \in [S^n, X]$ es un mapa, y elegir un camino de $\gamma : I \to X$$x_0$$f(*)$. "Concatenar" $\gamma$ $f$ (como hace usted para definir la acción de $\pi_1$$\pi_n$) para obtener un elemento de $\pi_n$, y de considerar su clase modulo de la acción de la $\pi_1$ conseguir $[\gamma \cdot f] \in \pi_n / \pi_1$. Por lo tanto, es independiente de la elección de $\gamma$, y también es independiente de la elección de $f$ hasta homotopy. Definir $\varphi([f]) = [\gamma \cdot f] \in \pi_n / \pi_1$.

En el converse dirección, deje $\psi' : \pi_n \to [S^n, X]$ ser el "olvidadizo" mapa en el que se toma una base de homotopy clase gratis homotopy clase (bien definido). Es claro que si dos basa homotopy clases están en la misma órbita de la acción de la $\pi_1$, entonces estarán en el mismo libre homotopy clase, por lo $\psi'$ factores a través de la acción de $\pi_1$ y se obtiene una bien definida mapa de $\psi : \pi_n / \pi_1 \to [S^n, X]$.

Ahora $\varphi$ $\psi$ son inversos el uno al otro. Deje $[f] \in [S^n, X]$ y deje $\gamma$ ser un camino de$x_0$$f(*)$. A continuación, $\psi \circ \varphi([f]) = [\gamma \cdot f]$ visto como un libre homotopy clase; pero, puesto que este es un país libre homotopy clase sólo puede "retraer" $\gamma$, de modo que $[\gamma \cdot f] = [f] \in [S^n, X]$. Por el contrario, si $[f] \in \pi_n / \pi_1$, $f(*) = x_0$ y ver de inmediato que $\varphi \circ \psi([f]) = [f]$, por definición. En conclusión, $$[S^n, X] \cong \pi_n / \pi_1.$$

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^* Para un trivial contraejemplo, considere la posibilidad de $X = \{x_0, x_1\}$ discreto doubleton. A continuación, $\pi_n / \pi_1$ es un singleton (porque de base de los requisitos de puntos), pero $[S^n, X]$ es un doubleton.

Observación. Esta es una generalización de esta cuestión que se aborda el caso de $n=1$.