La transición de las funciones de la tautológica paquete

Question

Definir el tautológica paquete de más de $CP^1$ $\tau = \{[a_1, a_2], (z_1, z_2) \in CP^1\times\mathbb{C}^2 | \exists \lambda \in \mathbb{C} \;\text{such that} \;\lambda (z_1,z_2) = (a_1, a_2) \}.$

A continuación, $\tau$ trivializa a través de conjuntos de $U_i = \{[a_1,a_2] | a_i \neq 0\}, i=1,2$ donde $(\pi, \phi_i):\pi^{-1}(U_1) \rightarrow CP^1\times\mathbb{C}$ está dado por $\phi_i([a_1,a_2]) = a_i.$ tenga en cuenta que $(\pi, \phi_1)^{-1}:U_1\times\mathbb{C} \rightarrow \pi^{-1}(U_1)$ está dado por $([a_1,a_2], w) \rightarrow ([a_1, a_2], (w, \frac{a_2}{a_1}w)).$

Así, la transición de la función de $T_{12}$ está dado por $[a_1, a_2] \rightarrow \frac{a_2}{a_1}.$ Hasta homotopy sólo hay que mirar en el mapa en el ecuador de $CP^1 = S^2.$ Ya que podemos identificar a $U_1$ $S^2 \setminus \infty = \mathbb{C}$ $[a_1,a_2] \rightarrow \frac{a_2}{a_1},$ la transición de la función de $T_{12}$ parece ser un título de un mapa $S^1 \rightarrow S^1.$

Esto es correcto? Si es así, ¿por qué este paquete siempre denota $O_\mathbb{P}(-1)?$ no Debería ser llamado $O_\mathbb{P}(1)?$

Answer 1

Si $T_{12}$ tiene el grado $1$ $T_{21}$ tiene el grado $-1$. En algún momento usted sólo tiene que tomar una decisión acerca de si este paquete debe ser llamado $\mathcal{O}(1)$ o $\mathcal{O}(-1)$.

Aquí hay tres posibles (relacionadas) razones por las que la notación $\mathcal{O}(-1)$ es utilizado para este paquete, o, más bien, ¿por qué $\mathcal{O}(1)$ es utilizado para el lote cuya transición de las funciones son los recíprocos de los de la tautológica paquete. Estas razones se aplican a $\mathbb{CP}^n$ cualquier $n$, no sólo a $\mathbb{CP}^1$, pero me quedo con el último, por la simplicidad.

En primer lugar, para $m \geq 0$ el paquete de $\mathcal{O}(m)$ admite global de holomorphic secciones aparte de $0$. De hecho, el espacio de las secciones es isomorfo al espacio homogéneo de grado $m$ polinomios en las coordenadas homogéneas $a_1, a_2$. Como un ejemplo claro en el caso de $m=1$, el polinomio $\alpha_1 a_1 + \alpha_2 a_2$ corresponde a la función $\alpha_1 + \alpha_2 (a_2/a_1)$ en la trivialización $U_1$ $\alpha_1 (a_1/a_2) + \alpha_2$ en la trivialización $U_2$. Esta buena correspondencia entre las secciones de $\mathcal{O}(m)$ y el grado $m$ polinomios es una buena razón para que la notación sea de la manera que es.

En segundo lugar, para una colección de (no necesariamente distintos) puntos de $P_1, \ldots, P_m$ es asociada a una línea de paquete de $\mathcal{O}(P_1+\ldots + P_m)$, cuyas secciones puede ser pensado como meromorphic funciones en $\mathbb{CP}^1$, en el peor de los casos un simple polo en cada una de las $P_i$; si algunas de las $P_i$ coinciden entonces de orden superior polos están permitidos, correspondiente a la multiplicidad de las repetidas punto. (En general, para un divisor $D \subset \mathbb{CP}^n$ uno se puede formar una línea bundle $\mathcal{O}(D)$.)

Resulta que el paquete de $\mathcal{O}(P_1 + \ldots +P_m)$ sólo depende (hasta el isomorfismo) sobre el valor de $m$. Básicamente, esto es debido a que para cualquier par de puntos distintos $Q_1, Q_2 \in \mathbb{CP}^1$ existe una función de meromorphic con un simple poste de $Q_1$, un simple cero a $Q_2$, y ningún otro ceros o polos: un ejemplo podría ser $(z-Q_2)/(z-Q_1)$. De todos modos, si $P$ es tu favorita punto en $\mathbb{CP}^1$ $\mathcal{O}(P_1 + \ldots + P_m) \cong \mathcal{O}(mP)$ e este grupo es isomorfo a la que llamamos $\mathcal{O}(m)$.

Por supuesto, ahora se podría decir, '¿por Qué definimos $\mathcal{O}(P)$ la forma en que lo hizo; ¿por qué no llamar a ese bundle $\mathcal{O}(-P)$ lugar?' Bueno, para cualquier línea del complejo paquete de $L$ $\mathbb{CP}^1$ se puede construir una clase de $c_1(L) \in H^2(\mathbb{CP}^1)$ llama a la primera clase de Chern. Esto es puramente topológico invariante, y es de Poincaré doble para la puesta a cero de un genérico suave de la sección de $L$. En el caso de $\mathcal{O}(P)$, el punto de $P$ sí es el ajuste a cero de una sección (que es transversal a la sección cero, por lo que es "genérica"), por lo que es dual a la clase $c_1(\mathcal{O}(P))$. Esto es mejor que $c_1(\mathcal{O}(P))$ son de doble a $-P$.

En tercer lugar, existe una noción de la positividad para la línea de paquetes que aparece en los resultados como el de Kodaira de fuga y la incrustación de teoremas. Generalmente este es formulado en términos de curvatura positiva de las mediciones (que está relacionado con la clase $c_1(L)$ en la razón 2), y una consecuencia típica es la existencia de "lotes" de holomorphic secciones (basándose en la razón 1). Felizmente el paquete de $\mathcal{O}(m)$ $\mathbb{CP}^n$ es positivo si y sólo si $m > 0$.