Solución a la ecuación diferencial $\frac{f}{f^\prime}=\frac{f^\prime}{f^{\prime\prime}}$

Question

Me pregunto si alguien podría por favor enviar la solución a la siguiente ecuación diferencial para la función de $f(x)$:

$$\frac{f}{f^\prime}=\frac{f^\prime}{f^{\prime\prime}}$$

Gracias!

Answer 1

$\rm\bf Start$: Multiplicar por $f\,''/f$ e integrar con respecto a $x$: $$\frac{f\,''}{f\,'}=\frac{f\,'}{f} \implies \ln (f\,')=\ln f+C.$$ Ahora exponentiate y resolver otro ecuación diferencial del mismo modo...

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$\rm\bf Finish$:

$$f\,'=e^Cf=Af\implies f(x)=Be^{Ax}.$$

Answer 2

$$ \frac{f}{f'} = \frac{f}{f"} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \frac{f}{f} = \frac{f"}{f'} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \int \frac{f}{f} = \int\frac{f"}{f'} + C \qquad \Longleftrightarrow \qquad \ln f = \ln f' + C $$

Por lo tanto, tomando exponenciales en ambos lados,

$$ f = K f' \ , $$

donde $K = e^C$. El cambio de nombre de $K$$\frac{1}{K}$, este es el mismo como

$$ \frac{f}{f} = K \qquad \Longleftrightarrow \qquad \int \frac{f}{f} = \int K + C \qquad \Longleftrightarrow \qquad \ln f = Kx + C \qquad \Longleftrightarrow \qquad f(x) = e^{Kx} $$

donde $A = e^C$.