Combinaciones de mod $n$ propiedad

Question

Así que después de algunas de las "tonterías" que me llegó a través de esta propiedad en el triángulo de Pascal (que parece repetir, y hace un montón de sentido):

$\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \mod n = \begin{cases} n \over k, & \text{if %#%#%} \\ 0, & \text{otherwise} \end{casos} $

para: $k | n$

Es muy simple, así que mis preguntas son:

1. Es cierto para todos los $1<k \le \lfloor n/2 \rfloor$? (Estoy casi seguro)
2. ¿Cuál es la prueba, si es verdad?

Entiendo cómo los números primos de trabajo (debido a $\begin{pmatrix} p \\ k \end{pmatrix} \mod p = 0$n$0<k<n$, pero ¿qué hay de los composites?

Answer 1

Kummer del Teorema establece que el número de veces que un primer $p$ divide $\binom{n}{k}$ es igual al número de lleva al$n-k$$k$. Considerando los números primos dividiendo $n$ individualmente es fácil ver que $\binom{n}{k}$ es divisible por $\frac{n}{\gcd(n,k)}$. Esto es equivalente a su declaración si $n$ $k$ son relativamente primos (alrededor del 60% de las parejas). Su declaración es verdadera si $n$ es un producto de dos primos y $k$ divide $n$ (raro en general, pero común para valores pequeños de a $n$).