Supongamos $a_1,\ldots, a_n$ son enteros arbitrarios. ¿Hay alguna manera sencilla de describir el conjunto de $S$ de todos los valores posibles de $\gcd(a_1x_1,\ldots,a_nx_n)$ $x_1,\ldots, x_n$ corre a través de todas las n-tuplas de relativamente primos los números enteros? (Por "relativamente primos" quiero decir aquí que no prime divide las $x_i$.) Es fácil ver que los elementos de la $S$ son divisibles por $\text{gcd}(a_1,\ldots,a_n)$, y que cada elemento de a $S$ es un divisor de a $\operatorname{lcm}(a_1,\ldots,a_n)$. Pero no está claro para mí (y no puede ser cierto) que cada múltiplo de $\gcd(a_1,\ldots,a_n)$ que también es un divisor de a $\operatorname{lcm}(a_1,\ldots,a_n)$ es un miembro de $S$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sí, usted puede conseguir exactamente los números que son múltiplos de $\gcd(a_1,\dotsc,a_n)$ y divisores de $\text{lcm}(a_1,\dotsc,a_n)$.
Para cada uno de los prime $p$, el exponente de $p$ $\gcd(a_1,\dotsc,a_n)$ es el mínimo exponente $k_\min$ $p$ entre el $a_1,\dotsc,a_n$, y el exponente de $p$ $\text{lcm}(a_1,\dotsc,a_n)$ es el mejor exponente $k_\max$. El exponente de $p$ $\gcd(a_1x_1,\dotsc,a_nx_n)$ al menos $k_\min$, lo $\gcd(a_1,\dotsc,a_n)|\gcd(a_1x_1,\dotsc,a_nx_n)$. El exponente de $p$ $\gcd(a_1x_1,\dotsc,a_nx_n)$ es en la mayoría de las $k_\max$, ya que de lo contrario cada una de las $x_1,\dotsc,x_n$ tendría que contener al menos un factor de $p$; por lo $\gcd(a_1x_1,\dotsc,a_nx_n)\mid\text{lcm}(a_1,\dotsc,a_n)$.
Para obtener un exponente dado $k$$p$$k_\min\le k\le k_\max$, sólo los $x_i$ tiene para contener los factores de $p$ que $a_i$ no ha $k$ factores de $p$. Ya hay al menos un $a_i$ que ha $k_\max$ factores de $p$ ( $k_\max\ge k$ ), se puede obtener cualquier $k$ sin hacer todos los $x_1,\dotsc,x_n$ divisible por $p$. Al hacer esto para todos los $p$, usted puede obtener coprime $x_1,\dotsc,x_n$ para cualquier valor de $\gcd(a_1x_1,\dotsc,a_nx_n)$$\gcd(a_1,\dotsc,a_n)\mid\gcd(a_1x_1,\dotsc,a_nx_n)\mid\text{lcm}(a_1,\dotsc,a_n)$.
