Conversación con el teorema de la base de Hilbert

Question

Pruebe lo contrario a la teoría básica de Hilbert:

Si el anillo polinomio $R[x]$ es noetheriana, entonces $R$ es noetheriana.

Answer 1

Deje que $I \subseteq R$ ser un ideal. Entonces $J := I + X \cdot R[X] \subseteq R[X]$ es un ideal, por lo tanto generado finamente, digamos $J = \langle p_0, \ldots , p_n \rangle $ . Ahora deja $a_i = p_i(0) \in R$ para $0 \le i \le n$ . Tenemos $ \langle a_0, \ldots , a_n \rangle\subseteq I$ por definición de $J$ . Ahora deja $a \in I$ . Entonces para algunos $f_i \in R[X]$ tenemos $$ a = \sum_ {i=0}^n f_i p_i $$ que, evaluado en $0$ da $$ a = \sum_ {i=0}^n f_i(0)a_i \in \langle a_0, \ldots , a_n \rangle $$ Por lo tanto $ I = \langle a_0, \ldots , a_n \rangle $ y $I$ se genera de forma finita.

Answer 2

El teorema de la base de Hilbert tiene una respuesta trivial....

usar el resultado, "Cualquier imagen homomórfica de un anillo noetheriano es noetheriana".

Prueba:-

Deje que $f : M \to N$ ser un homomorfismo de $A$ -módulos, donde $M$ es noetheriana.

Luego $f(M)$ es isomorfo a $M/ \ker f$ usar el primer teorema del isomorfismo para los anillos.

Ahora para probar $f(M)$ es el uso noetheriano del siguiente resultado,

"Dejar $A$ ser un anillo, $M$ ser un $A$ -módulo y $N$ ser un $A$ -submódulo de $M$ . Luego $M$ es noetheriana si y sólo si $N$ y $M/N$ son noetherianos".

para probar esto considere la siguiente secuencia exacta...

$$0 \to N \to M \to M/N \to 0. \qquad \text {(This is an exact sequence).}$$

así que por el resultado anterior, $f(M)$ es noetheriana.

Ahora, para la parte del homomorfismo de $T:R[x] \to R$

Considéralo, $T(f(x))=f(0)$ .

Este mapa es trivialmente un homomorfismo (¡¡¡Comprobado!!!) .