En general, es que no se el caso de que $\mathfrak{M}$ igual $\mathfrak{N}$. Sin embargo, es cierto que $\mathfrak{M}=\mathfrak{N}$ al $X$ $\sigma$- compacto o, más generalmente, al $\mu$ $\sigma$- finito.
Como contraejemplo, considere el caso donde $X=S\times\mathbb{R}$ para un incontable espacio discreto $S$ y con la topología usual en $\mathbb{R}$. Podemos definir a la $I\colon C_c(X)\to\mathbb{R}$ por
$$
I(f)=\sum_{s\in S}\int_\mathbb{R}f(s,x)\,dx.
$$
Definir $\pi_s\colon\mathbb{R}\to X$$\pi_s(x)=(s,x)$, y definir los siguientes sigma álgebra de operadores.
- $\mathfrak{M}_1$ $E\subseteq X$ tal que $\pi_s^{-1}(E)\subseteq\mathbb{R}$ es Lebesgue medible subconjunto de $\mathbb{R}$ todos los $s\in S$ y es Borel medible para todos, pero countably muchos $s$.
- $\mathfrak{M}_2$ es el conjunto de $E\subseteq X$ tal que $\pi_s^{-1}(E)$ es Lebesgue medible para todos los $s\in S$.
El uso de $\lambda$ para la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$, podemos definir la medida de $\mu$ $(X,\mathfrak{M}_2)$ por
$$
\mu(E)=\begin{cases}
\sum_{s\in S}\lambda(\pi^{-1}_s(E)),&\textrm{ if }\{s\in S\colon\pi_s^{-1}(E)\not=\emptyset\}\textrm{ is countable} ,\\
\infty,&\textrm{otherwise}.
\end{casos}
$$
Se puede observar que la toma de $\mathfrak{M}=\mathfrak{M}_2$ satisface todas las propiedades necesarias, como lo hace tomando $\mathfrak{N}=\mathfrak{M}_1$$\nu=\mu\vert_\mathfrak{N}$. Tenga en cuenta que los conjuntos de $E\in\mathfrak{M}_2$ cero de la medida debe tener $\pi^{-1}_s(E)=\emptyset$ para todos, pero countably muchos $s$, lo $(X,\mathfrak{N},\nu)$ es completa. Sin embargo, para cualquier Lebesgue medible pero no Borel set$E\subset\mathbb{R}$, $S\times E$ $\mathfrak{M}$ pero no se en $\mathfrak{N}$, por lo que estos $\sigma$-álgebras son diferentes.
Ahora, para el caso general de una localmente compacto $X$. Dado un positivo lineal funcional $I\colon C_c(X)\to\mathbb{R}$, se pueden definir los siguientes $\sigma$-álgebras y medidas,
- $\mathfrak{M}_0$ es el Borel $\sigma$-álgebra en $X$, e $\mu_0$ es la única medida en $(X,\mathfrak{M}_0)$ la satisfacción de las propiedades necesarias (aparte de integridad, (f)).
- $(X,\mathfrak{M}_1,\mu_1)$ es la culminación de $(X,\mathfrak{M}_0,\mu_0)$.
- $\mathfrak{M}_2=\{E\subseteq X\colon E\cap K\in\mathfrak{M}_1{\rm\ for\ all\ compact\ }K\subseteq X\}$ $\mu_2$ es la única extensión de $\mu_0$$\mathfrak{M}_2$.
Estas medidas son, de hecho, definida de forma única, y tenemos las siguientes propiedades (estoy usando $\mu^c$ para denotar el continuo de parte de una medida $\mu$. Es decir, $\mu$ después de que sus átomos han sido sustraídos).
- Para un $\sigma$-álgebra $\mathfrak{M}$$X$, existe una medida $\mu$ la satisfacción de las propiedades necesarias (aparte de, posiblemente integridad (f)) si y sólo si $\mathfrak{M}_0\subseteq\mathfrak{M}\subseteq\mathfrak{M}_2$.
- La medida de $\mu$ está determinado únicamente por la $\mu=\mu_2\vert_\mathfrak{M}$.
- La medida del espacio de $(X,\mathfrak{M},\mu)$ definido sólo es completa si y sólo si $\mathfrak{M}_1\subseteq\mathfrak{M}\subseteq\mathfrak{M}_2$.
- $\mu^0_c$ $\sigma$- finito ⇔ $\mu^0_c(X\setminus U)=0$ para algunos (abierto) $\sigma$-compacto $U\subseteq X$ ⇒ $\mathfrak{M}_1=\mathfrak{M}_2$.
- $\mathfrak{M}_1=\mathfrak{M}_2$ ⇒ hay un abrir $\sigma$-compacto $U\subseteq X$ de manera tal que cada subconjunto compacto de $X\setminus U$ cero $\mu^0_c$ medida.
Podemos probar estas declaraciones.
En primer lugar, la medida de $\mu_0$ $(X,\mathfrak{M}_0)$ la satisfacción de las propiedades requeridas existe y es único por la representación de Riesz teorema, por lo que no necesita probar que. Siguiente, $\mathfrak{M}_1$ $\mu_1$ está definida de forma única, porque todas medir los espacios tienen una única conclusión. Que $\mathfrak{M}_2$ $\sigma$- álgebra es simplemente un asunto de la comprobación de que es cerrado bajo contables de los sindicatos y complementos.
Además, $\mu_2$ está definida únicamente por la condición de
$$
\mu_2(E)=\inf\left\{\mu_0(S)\colon S\supseteq E{\rm\ es\ open}\right\}.
$$
Que $\mu_2$ es countably aditivo se deduce del hecho de que está de acuerdo con $\mu_1$ $\mathfrak{M}_1$ y que todos los $E\in\mathfrak{M}_2$$\mu_2(E) < \infty$$\mathfrak{M}_1$. Para ver esto, considere que si $\mu_2(E) < \infty$ entonces tenemos un conjunto abierto $S$ contiene $E$$\mu_0(S) < \infty$. Luego, por la condición (e), existen conjuntos compactos $K_n\subseteq S$$\mu_0(K_n)\to\mu_0(S)$, en cuyo caso $S_0=S\setminus\bigcup_n K_n$ $\mu_0$- null así, por integridad, $S_0\cap E\in\mathfrak{M}_1$. También, $K_n\cap E\in\mathfrak{M}_1$, por definición. Por eso, $E$ es la unión de los conjuntos de $S_0\cap E$ $K_n\cap E$ y debe ser en $\mathfrak{M}_1$.
Siguiente, supongamos que $\mu$ $\mathfrak{M}$ satisfacer las propiedades necesarias (aparte de, posiblemente, la integridad (f)). Entonces, tenemos $\mathfrak{M}_0\subseteq\mathfrak{M}$ (a) y de acuerdo con $\mu$ en todos los conjuntos de Borel por la unicidad de la representación de Riesz. Supongamos que $E\in\mathfrak{M}$ está contenida en un conjunto compacto $K$. Entonces, por (c,d,e) $\mu(E) < \infty$ y existen abrir conjuntos de $S_n$ contiene $E$$\mu(S_n)\to\mu(E)$. Entonces la intersección $S=\bigcap_n S_n$ es Borel, contiene $E$$\mu(S)=\mu(E)$. Aplicar el mismo argumento a $K\setminus E$ implica la existencia de un conjunto de Borel $S^\prime$ contiene $K\setminus E$ tal que $\mu(S^\prime)=\mu(K\setminus E)$. De ello se desprende que $F=S\setminus(K\setminus S^\prime)$ cero $\mu$-medir, y Borel, así que, por integridad, $F^\prime=F\setminus E=S\setminus E$ $\mathfrak{M}_1$ y, por lo tanto, $E=S\setminus F^\prime$$\mathfrak{M}_1$. Ahora arbitrarias $E\in\mathfrak{M}$ y compacto $K$, aplicando el argumento de arriba a $E\cap K\subseteq K$ muestra que $E\cap K\in\mathfrak{M}_1$. Por definición, esto significa que $E\in\mathfrak{M}_2$ $\mathfrak{M}\subseteq{M}_2$ como se requiere. A continuación, $\mu=\mu_2\vert_\mathfrak{M}$ por (d) y el hecho de que está de acuerdo con $\mu_0$ en bloques abiertos.
Por el contrario, supongamos que $\mathfrak{M}_0\subseteq\mathfrak{M}\subseteq\mathfrak{M}_2$$\mu=\mu_2\vert_{\mathfrak{M}}$. Propiedades (a,b,c) siga por el hecho de que $\mu_0=\mu\vert_{\mathfrak{M}_0}$ cumple con estas. Propiedades (d,e) se sigue del hecho de que es la restricción de $\mu_2$ que satisface estas propiedades.
Ahora, supongamos que el $(X,\mathfrak{M},\mu)$ es completa. Por la definición de $\mu_1$ $\mathfrak{M}_1$ cualquier $E\in\mathfrak{M}_1$ puede ser escrito como $E=A\cup B$ de Borel $B$ $A$ contenida en un conjunto de Borel de medida cero. Así, por integridad, $E\in\mathfrak{M}$) y hemos demostrado que $\mathfrak{M}_1\subseteq\mathfrak{M}$.
Por el contrario, supongamos que $\mathfrak{M}$ contiene $\mathfrak{M}_1$ y considerar la posibilidad de $E\in\mathfrak{M}$$\mu(E)=0$. A continuación, $\mu_2(E)=0$. En particular, este es finito, por lo $E\in\mathfrak{M}_1$ como se ha argumentado anteriormente. Por integridad, cualquier $F\subseteq E$ $\mathfrak{M}_1$ y, por lo tanto, es en $\mathfrak{M}$. Por eso, $(X,\mathfrak{M},\mu)$ es completa.
Sólo el final de las declaraciones de dar (por separado) las condiciones necesarias y suficientes para $\mathfrak{M}_1=\mathfrak{M}_2$ quedan. El conjunto $A=\{x\in X\colon \mu_0(\{x\}) > 0\}$ es Borel medible. De hecho, cada subconjunto $S\subseteq A$ es de Borel. Tenga en cuenta que el conjunto de $x\in S$ tal que $\mu_0(\{x\})\ge1/n$ sólo puede tener un número finito de intersección con cualquier conjunto compacto (por (c)), por lo que debe ser cerrado y, por lo tanto, $S$ es una unión de countably muchos conjuntos cerrados y por lo tanto es Borel. Así, un conjunto $S\subseteq X$ automáticamente ha $S\cap A\in\mathfrak{M}_0$, e $S\in\mathfrak{M}_1$ si y sólo si $S\setminus A\in\mathfrak{M}_1$. Así, la definición de $\mathfrak{M}_1$ (e $\mathfrak{M}_2$) sólo depende de la continua parte de $\mu_0$, definido por $\mu_0^c(E)=\mu_0(E\setminus A)$.
Ahora, supongamos que el $\mu_0^c(X\setminus U)=0$ $\sigma$- conjunto compacto $U=\bigcup_{n\ge1}K_n$ (compact $K_n$). Establecimiento $K_0=X\setminus U$ $\mu_0^c(K_n) < \infty$ todos los $n\ge0$$X=\bigcup_{n\ge0}K_n$. Por lo $\mu_0^c$ $\sigma$- finito. Siguiente, supongamos que $\mu_0^c$ $\sigma$- finito, por lo que el $X=\bigcup_{n\ge1}E_n$ de Borel $E_n$$\mu^c_0(E_n) < \infty$. Por (e), cada una de las $E_n$ es la unión de countably muchos compacto y conjuntos de un conjunto de cero $\mu^c_0$-medida. Así, la unión a lo largo de $n$, $X$ también es de la forma $E\cup\bigcup_{n\ge1}K_n$ compacto $K_n$$\mu^c_0(E)=0$. A continuación, $U=\bigcup_nK_n$ $\sigma$- compacto y $\mu^c_0(X\setminus U)=0$. Podemos suponer que $U$ también está abierto porque, en un localmente compacto espacio, cada conjunto compacto (y por lo tanto todos los $\sigma$-conjunto compacto) está contenida en un abrir $\sigma$-conjunto compacto.
Entonces, para cualquier $S\in\mathfrak{M}_2$,$S\cap K_n\in\mathfrak{M}_1$, por definición, y $S\cap E\in\mathfrak{M}_1$ ya que tiene cero $\mu^c_0$-medida. Por lo tanto, siendo la unión de $S\cap E$ y $S\cap K_n$, $S$ es en $\mathfrak{M}_1$. Esto demuestra que $\mathfrak{M}_1=\mathfrak{M}_2$.
Ahora vamos a probar la declaración final. Usando el lema de Zorn, elegir un máximo de recolección de $\{K_i\colon i\in I\}$ de pares distintos compacto conjuntos tales que a $\mu^c_0(K_i) > 0$. Podemos encontrar $\sigma$-compacto $U_i$ contiene $K_i$ $\mu^c_0(U_i) < \infty$ ((d)), y establecer $U=\bigcup_iU_i$. Por maximality de la colección de $\{K_i\}$, cada subconjunto compacto $K$ $X\setminus U$ cero $\mu_0^c$-medida. Vamos a demostrar que $\mathfrak{M}_1=\mathfrak{M}_2$ implica que el $I$ es contable, por lo que el $U$ $\sigma$- compacto.
Deje $\tilde K_i$ ser el apoyo de $\mu_0^c$ restringido a $K_i$ (es decir, el más pequeño subconjunto cerrado de $K_i$$\mu_0^c(K_i)=\mu_0^c(\tilde K_i)$). Esto significa que $\mu_0^c(S\cap \tilde K_i) > 0$ para cualquier conjunto abierto $S$$S\cap \tilde K_i\not=\emptyset$. Por lo tanto, cada conjunto abierto con finito $\mu_0^c$-medida sólo puede cruzan countably muchas de las $\tilde K_i$. Por (d), esto también significa que cualquier conjunto con cero $\mu_0^c$-medida sólo puede cruzan countably muchas de las $\tilde K_i$. Como todos los $S\in\mathfrak{M}_1$ es la unión de un conjunto de Borel y un conjunto con cero de la medida, que debe satisfacer $S\cap \tilde K_i\in\mathfrak{M}_0$ para todos, pero countably muchos $i$. Si podemos encontrar conjuntos de $S_i\subseteq \tilde K_i$$S_i\in\mathfrak{M}_1\setminus\mathfrak{M}_0$$S=\bigcup_i S_i$$\mathfrak{M}_2$. Como $\mathfrak{M}_1=\mathfrak{M}_2$, esto significa que $S_i=S\cap \tilde K_i\in\mathfrak{M}_0$ para todos, pero countably muchos $i$, lo $I$ sí es contable. Este es el punto donde tenemos que asumir que la $\mu^c_0$ es una medida continua, por lo que era necesario para restar los átomos. La existencia de $S_i$ se deduce del hecho de que cualquier finito atomless medida en la Borel $\sigma$-algebra de un compacto Hausdorff que el espacio no puede ser completa (voy a declarar este hecho sin la prueba a pesar de izquierda como el ejercicio, debido a que esta respuesta es llegar demasiado tiempo).
