Valor de$X^4 + 9x^3+35X^2-X+4$ para$X=-5+2\sqrt{-4}$

Question

Encuentre el valor de$X^4 + 9x^3+35X^2-X+4$ para$X=-5+2\sqrt{-4}$

Ahora el método trivial es poner$X=5+2\sqrt{-4}$ en el polinomio y calcular pero esto es para$2$ sólo marcas y que lleva mucho tiempo para$2$! Así que estaba pensando que puede haber algún truco u otra técnica para obtener el resultado más rápido. ¿Puede alguien ayudar por favor$?$

Gracias .

Answer 1

Podría considerar la realización de una división polinómica larga, dividiendo el polinomio dado por el polinomio mínimo de$-5+4i$, que es$x^2+10x+41$. Verbigracia:

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Sabemos que si$x^4+9x^3+35x^2-x+4=(x^2-x-4)(x^2+10x+41)+160$, entonces$x=-5+4i$ desaparece, por lo que el polinomio dado evalúa a$x^2+10x+41$ allí.

Answer 2

Cuando la evaluación de polinomios, generalmente el primer método que enseña es simplemente reemplazar cada una de las $x$ que ver con el valor prescrito. Aunque esto funciona, en general, se puede sentir que el tiempo se consume.

Dependiendo de los escenarios, uno puede encontrar trucos para hacer las cosas más fáciles (por ejemplo, la factorización o polinómica división como en la @$\pi$r8 de la respuesta anterior).

Sin embargo, existe un método general que funciona en todos los casos en que es más eficiente que el de grado de la escuela el método de sustitución de la $x$'s, el cálculo de cada uno de los poderes de $x$ por separado, multiplicando y, a continuación, agregar.

Es conocido como el Método de Horner.

El quid de la cuestión es que usted puede en lugar de escribir el polinomio en la forma $a_0+x(a_1+x(a_2+\dots+(x(a_{n-1}+a_nx))\dots )$

Para su polinomio, se tiene:

$x^4+9x^3+35x^2-x+4=4+x(-1+x(35+x(9+x)))$

Ahora, evaluar desde las profundidades del paréntesis hacia el exterior. Esto todavía es tedioso para su deseada $x$ valor así que no voy a hacer aquí, pero el número de operaciones aritméticas involucradas disminuye de estar en el orden de $O(n^2)$ a en lugar de estar en el orden de $O(n)$. (específicamente la evaluación de un polinomio de grado $n$ puede tomar en la mayoría de las $\frac{n^2+3n}{2}$ pasos con el grado-método de la escuela y en la mayoría de las $2n$ pasos utilizando el método de Horner)

Answer 3

$X+5=4i$ Squaring get$x^2+10x+41=0$ ahora solo divide el polinomio dado con esta ecuación para resolver$$\frac{x^4+9x^3+35x^2-x+4}{x^2+10x+41}$$ you get it equal to $ (160) $

Answer 4

No es el trabajo que tanto.

1) Simplemente calcule$x, x^2, x^4 = (x^2)^2, x^3 = x^2 * x$ al lado primero. y

2) considerar cada número como teniendo dos "partes"; Una parte de número "normal" y una "raíz cuadrada de una parte negativa"

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Asi que $x = -5 + \sqrt{-4} = -5 + 2\sqrt{-1}$

Esto es una indirecta a los números complejos. Llamamos$x^2 = 25 + 4(-1) + 20\sqrt{-1} = 21 + 20\sqrt{-1}$ y todos los números son de la forma$x^4 = 21^2 + 20^2(-1) + 2*20*21\sqrt{-1} = 441 - 400 + 840\sqrt{-1}= 41 + 840\sqrt{-1}$. $x^3 = (21 + 20\sqrt{-1})(-5 + 2\sqrt{-1}) = -110 + 40(-1) + (-100 + 42)\sqrt{-1} = -150 - 58\sqrt{-1}$ Y$X^4 + 9x^3+35X^2-X+4 = (41 + 9(-150) + 35(21) -(-5) + 4) + \sqrt{-1}(840 + 9(-58) + 35(2) - 2) = -565 + 386\sqrt{-1}$.