Recientemente he ido mejorando mis habilidades en ecuaciones diferenciales Lineales y me encontré con un problema con un lugar problemático solución.
El problema es el siguiente: (Ya se convirtió desde el primer formulario, te lo puedo asegurar, sin error, he comprobado cinco veces)
$D^2+D+1=0$
La solución que se ofrece es:
$y = (C_{1}\cos(\frac{\sqrt{3}}{2})x+C_{2}\sin(\frac{\sqrt{3}}{2})x)\cdot e^{-x/2}$
Es claro para mí por qué el pecado y cos están presentes, pero me parece que esta solución implica
$\lambda = a + bi = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$
Suponiendo,
$y_1 = e^{ax}\cos(bx), y_2 = e^{ax}\sin(bx)$.
Hice el intento de una solución utilizando el resultado obtenido a partir de las respuestas (y creo que no es un error tipográfico, ya que hay problemas similares con soluciones similares en el texto que estoy usando). El problema que he corrido en contra es que al intentar el imaginario de la factorización no puedo obtener una solución similar.
$D^2+D+1=0$
$(D+[-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i])^2 = 0$
$D^2 - D + \sqrt{3} D i - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$
Como está escrito, la expansión que yo realice los resultados en una expresión diferente de la original. Supongo que me estoy haciendo un error en alguna parte, pero me parece que no puede encontrar y me he pasado bastante tiempo tratando de averiguar por qué.
Estoy seguro de que es algo simple error que he cometido y yo estaría muy agradecido si alguien estaría dispuesto a tomar el tiempo a punto de salir.
Gracias,
David
