¿Por qué no "Adivina y verificar técnica" implica razonamiento circular?

Question

Sé de varias pruebas de ecuaciones diferenciales, teoría de juegos y dinámicas de programación que utiliza el "adivinar y comprobar técnica".

Sin embargo, ahora, cuando lo pienso de nuevo, yo no estoy tan seguro de por qué estas pruebas no implican razonamiento circular. Es porque siempre se puede comprobar las propiedades dadas exógenamente, para ver si las soluciones obtenidas por adivinar y comprobar que es correcta? Lo que hace que esta técnica sea fundamentalmente diferente de la falacia de razonamiento circular (donde también proponer algo de la nada y lo utilizan como una suposición)?

Answer 1

Pregunta: "Encontrar una $x$ tal que $x^2 = 9$."

Respuesta: "yo por arte de magia intuyó que $x=3$ podría funcionar. He enchufado que en la ecuación, y se encontró que, efectivamente, $x=3$ hace $x^2=9$. Así que mi respuesta es $x=3$."

O, para decirlo de manera más formal: "Vamos a $x=3$. A continuación,$x^2 = 9$. Por lo $x=3$ es mi respuesta".

Eso es una conjetura-y-verificar la respuesta. La razón es que es una respuesta válida es porque todo lo que necesita hacer para demostrar que he encontrado un válido $x$ es para mostrar un $x$ y demostrar que se tiene el derecho de propiedad. Una prueba no necesitan decir nada acerca de cómo el creador se acercó a ella.

Razonamiento Circular en este caso sería algo como "Supongamos $4^2 = 9$. A continuación, $x=4$ funcionaría. Por lo $x=4$ es mi respuesta". La clave aquí es que tenemos un colgante supuesto en el comienzo de la prueba: se supone $4^2 = 9$, y el resto del argumento depende de la asunción, que nunca se demostró espera. La diferencia entre este argumento y el anterior, el argumento válido es que nos permite asignar valores a las variables libremente, siempre y cuando lo hacemos de manera consistente (que no podemos dejar a $x=3$ $x=4$ en la misma frase), y eso es lo que hicimos en el argumento correcto. Pero "supongamos $4^2 = 9$" está tratando de asignar valores a otros valores, en lugar de variables.

Si usted tiene más específica y menos obviamente trivial ejemplo, yo estaría feliz de caminar a través de él.

Answer 2

Creo que hay otro posible problema en juego. El "proceso misterioso" de encontrar la conjetura correcta $x$ a menudo implican suposiciones dudosas. Pero todo eso no importa, porque no es parte de la prueba. Una vez que ha encontrado en el ejemplo, no nos importa donde provenían: está parado en su el propios, y uno probar (sin ninguna suposición dudosa) que tiene las propiedades de la derecha, listo.

Answer 3

Razonamiento circular consiste en hacer una suposición injustificada; prueba de conjetura y verificación, sin embargo, no. Cuál es (probablemente) justificado es la elección de ejemplo; sin embargo, esto no significa que la prueba inválida, simplemente más misterioso.

Una prueba es válida si "sigue las normas". Hay ninguna regla que dice que la prueba de explicar por qué se realiza cada paso así, los pasos sólo deban ser válido.

Answer 4

Esto es algo normal existencial de la eliminación. Si quieres demostrar $\exists x.P(x)$ mantiene, sólo se necesita para producir un $t$ tal que $P(t)$ mantiene. Cómo producir $t$ es irrelevante. Resolver una ecuación, incluyendo una ecuación diferencial, es la prueba de una declaración existencial. Por supuesto, se suele pedir para encontrar la solución general y que va más allá de sólo demostrar la existencial. Por eso cuando usted supongo que un ansatz para la ecuación diferencial y verificar que se satisface la ecuación diferencial, usted todavía tiene que demostrar que es el más general de la solución con argumentos adicionales.

Es algo interesante ver cómo existencial eliminación está mecanizada en la prueba de asistentes/teorema provers como lo hacen los seres humanos tiene algunas similitudes. Cuando un teorema armario trata de demostrar, $\exists x.P(x)$ puede adivinar, pero generalmente se iniciará mediante la producción de una unificación de la variable. Este es un meta-variable que representa a un plazo indeterminado. Llame a la unificación de la variable $X$, ahora queremos demostrar $P(X)$. Como el teorema de armario va a través del proceso de intentar demostrar $P(X)$ se agregan restricciones que parcialmente (o totalmente) especificar el plazo que $X$ representa. Por ejemplo, podemos llegar a la conclusión de que $X = f(X_1)$ donde $X_1$ es una nueva unificación de la variable. Esto es similar a adivinar que el ansatz para una ecuación diferencial es $Ae^{Bx}$ para algunos no determinada $A$$B$. Finalmente, el teorema de armario de cualquiera de los extremos con imperativos contradictorios en $X$, desmintiendo $\exists x.P(x)$, o se logra demostrando $P(X)$ con un conjunto coherente de restricciones en $X$. Estas limitaciones pueden sólo parcialmente especificar el plazo $X$, pero eso solo significa que los no especificados partes (normalmente representado por restricciones de la unificación de las variables) puede ser cualquier plazo de validez. Esto es como la obtención de una solución a una ecuación diferencial como $A\cos\phi + B\sin\phi$ donde $A$ $B$ son arbitrarias. Muchas formas de unificación está garantizado para producir la mayoría de las soluciones generales, pero que no tiene que ser el caso.

Answer 5

Sólo la "comprobar" la parte que importa

Cuando usted tiene una supuesta respuesta a algún problema, la única cosa que importa formalmente es que usted tiene una verificación de que la respuesta es una respuesta.

Todos los algebraicas trabajo que usted hizo cuando tratamos de resolver el problema? Completamente irrelevante — su único valor es la que se llevó a algo que usted puede ser que intente verificar. (aunque, a veces, el trabajo realizado puede ser reutilizado en la etapa de verificación)

Ya que "adivinar y comprobar" incluye "verificar", es perfectamente válido técnica.

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Ahora, debemos entender por qué uno puede ser incómodo con "adivinar y comprobar" como una técnica.

La gente a menudo se centran únicamente en el "¿Cómo puedo llegar con una supuesta respuesta?" parte de la solución del problema, a menudo hasta el punto de olvidar la necesidad de la verificación, o no, aun sabiendo que es algo que necesita ser hecho!

Esto se agrava aún más por el hecho de que a menudo hay trucos para verificar una supuesta respuesta al reutilizar el trabajo que ha hecho en la supuesta respuesta.

Por ejemplo, a la hora de resolver la ecuación de $5x + 3 = 13$, uno podría hacer los pasos

• $5x+3 = 13$
• $5x = 10$
• $x=2$

Entonces, para verificar la $x=2$ es una solución, entonces se puede observar que cada paso en esta derivación es reversible; sólo escribir en el orden inverso equivale a una verificación!

(dicho esto, como una cuestión práctica es mejor hacer la verificación conectando $x=2$ en la ecuación original; esto le da una muy buena oportunidad de atrapar cualquier errores aritméticos)

Si la mayoría de los problemas se han resuelto esto, se hace la verificación de casi parecen una idea o un tecnicismo, llevando a la gente a subestimar su importancia, o incluso completamente por alto como un paso!

Además, uno pasa mucho tiempo en aprender a hacer este tipo de manipulaciones algebraicas para llegar a un resultado específico; esto es sólo una estrategia particular para venir para arriba con una supuesta respuesta, pero este enfoque a menudo deja a la gente con la impresión de que es la única estrategia válida.

La manera en que la matemática se enseña incluso podría reforzar esta idea errónea; por ejemplo, en una prueba de lo bien que se puede hacer manipulaciones algebraicas, una suposición-y-comprobación de solución de marcado hacia abajo, ya que no demuestran su habilidad en la manipulación algebraica... pero el estudiante puede malinterpretar y pensar que tienen una marcada baja porque supongo-y-check es un inválido de resolución de problema de técnica!