¿El producto de dos elementos que no están en un subgrupo está en un subgrupo?

Question

Así que he visto este post, pero mi pregunta es un poco diferente.

Supongamos que $b_1,b_2\in G$ y $b_1\neq b_2^{-1}$ . Y suponga que tiene un subgrupo $H\leq G$ y tampoco $b_1$ ni $b_2$ pertenecen a $H$ . Puede $b_1b_2\in H$ ?

Hasta ahora sólo he dado vueltas en círculo y he estado reorganizando sin llegar a ninguna parte. He probado la prueba por contradicción, pero de nuevo no llego a ninguna parte. Parece que, o bien lo anterior es cierto, o bien me estoy perdiendo algún paso obvio.

Answer 1

Esto puede ser cierto. Si $H$ es un subgrupo de índice $2$ entonces es necesariamente cierto para cualquier $b_1,b_2\not\in H$ . (Ejemplo: en $\mathbb{Z}$ impar + impar = incluso ) Incluso si $H$ tiene un índice mayor que $2$ puede ser verdad. Sólo necesitas que $b_1$ y $b_2$ pertenecen a cosets de $H$ que son inversos en el grupo cociente.

Answer 2

Claro. Toma $G=(\mathbb{Q},+)$ y $H=\mathbb Z$ . Entonces $\frac12+\frac12=1\in\mathbb{Z}$ pero $\frac12\notin\mathbb Z$ .

Answer 3

Podemos decir más. Dado $H$ un subgrupo propio de $G$ y un elemento $b_1 \in G$ que no está en $H$ Hay $|H|$ opciones para $b_2$ , ninguno de ellos en $H$ , de tal manera que $b_1b_2 \in H$ . Tenga en cuenta que $b_1^{-1} \not \in H$ y $b_1b_1^{-1}=e \in H$ . Entonces, para cada $h \in H$ tenemos $b_1^{-1}h \not \in H$ y $b_1(b_1^{-1}h)\in H$

Answer 4

Si $g_1, g_2 \not\in H$ entonces no hay nada que podamos decir realmente sobre si $g_1 g_2 \in H$ sin más información. A veces el producto está en $H$ Otras veces no lo es.

Un ejemplo en el que $g_1g_2 \in H$ : Elige dos permutaciones Impares en el grupo simétrico $S_n$ . Entonces ninguno de los dos está en el grupo de alternancia $A_n$ Sin embargo, su producto lo es.

Un ejemplo en el que $g_1g_2 \not\in H$ : Mira el grupo simétrico $S_4$ y su normal Klein $4$ -subgrupo $V = \{1, (12)(23), (13)(24), (14)(23)\}$ . Ahora elige una permutación par que no esté en $V$ y una permutación impar (que no debe estar en $V$ ). Su producto debe ser impar, por lo tanto no en $V$ .