$x^4 + y^4 \mod p$

Question

El % de primes $p = 5, 13, 17, 29$tienen la propiedad de que existen menos de valores de $p$ $x^4 + y^4 \mod p$. Por ejemplo, $x^4 \equiv 0$ o $1 \mod 5$ % que $x^4 + y^4 \equiv 0, 1$o $2$, pero nunca $3$ o $4$, $\mod 5$. ¿Hay cualquier otros primos con esta propiedad?

La cuestión se planteó en relación con la secuencia de OEIS A289559

Answer 1

Para un determinado prime $p$, vamos a $Z_p$ denotar el anillo de los enteros, mod $p$, y deje $f\colon Z_p^2 \to Z_p$ ser definido por $f(x,y) = x^4+y^4$.

Resultado parcial: Si $p \equiv -1\;\,(\text{mod}\;4)$, $f$ es surjective.

Prueba:

Suponga $p$ es un número primo, con $p \equiv -1\;\,(\text{mod}\;4)$.

A continuación, $-1$ no es un residuo cuadrático, mod $p$.

Reclamo cada plaza en $Z_p$ $4$- ésima potencia.

Deje $a,b \in Z_p^{*}$, y supongamos $a^4=b^4$$Z_p$. \begin{align*} \text{Then in %#%#%,}\;\;&a^4=b^4\\[4pt] \implies\;&a^2=\pm b^2\\[4pt] \implies\;&a^2=b^2&&\text{[since %#%#% is not a quadratic residue, mod %#%#%]}\\[4pt] \implies\;&a= \pm b\\[4pt] \end{align*} De ello se desprende que el mapa de $Z_p$ $-1$ es exactamente dos-a-uno, por lo tanto el conjunto de $p$-th poderes en $Z_p^{*} \to Z_p^{*}$ tiene cardinalidad $x \mapsto x^4$. Por supuesto, todas las $4$-ésima potencia también es un cuadrado, por lo tanto, desde el cardinalidades son los mismos, el conjunto de $Z_p^{*}$-th poderes en $\frac {p-1}{2}$ es el mismo que el conjunto de plazas en $4$, lo que (desde $4$ $Z_p^{*}$- ésima potencia), demuestra la demanda.

Para cualquier $Z_p^{*}$ que no es un cuadrado en $0$, $4$$ Fix $k \in Z_p$ como el menor entero positivo tal que $Z_p$ no es un cuadrado en $$Z_p = \{x^2 \mid x \in Z_p\} \cup \{kx^2 \mid x \in Z_p^{*}\}$. A continuación,$k \in \{0,1,2,...,p-1\}$, e $k$ es un cuadrado en $Z_p$.

Fix$k > 1$$k-1$. Queremos mostrar a $Z_p$ es en la imagen de $r$.

Si $Z_p$ es un cuadrado en $r$, $f$ $r$- ésima potencia en $Z_p$, por lo tanto $r$, para algunas de las $4$, lo $Z_p$ es en la imagen de $f(x,0)=r$.

Siguiente, supongamos $x$ no es un cuadrado en $r$.

A continuación,$f$, para algunas de las $r$, e $Z_p$ es un cuadrado en $r=kx^2$.

Deje $x \in Z_p$ ser tal que $(k-1)x^2$$Z_p$. \begin{align*} \text{Then in %#%#%,}\;\;&y^2=(k-1)x^2\\[4pt] \implies\;&x^2+y^2=kx^2\\[4pt] \implies\;&x^2+y^2=r\\[4pt] \implies\;&\text{%#%#% is the sum of two squares}\\[4pt] \implies\;&\text{%#%#% is the sum of two %#%#%-th powers}\\[4pt] \end{align*} por lo tanto $y$ es en la imagen de $y^2 = (k-1)x^2$, según se requiera.