¿Cuál es la probabilidad de que la suma de cuatro dados sea 22?

Question

Pregunta

Se lanzan cuatro dados justos de seis caras. La probabilidad de que la suma de los resultados sea $22$ es $$\frac{X}{1296}.$$ ¿Cuál es el valor de $X$ ?

Mi enfoque

Lo he simplificado a la ecuación de la forma

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=22, 1\,\,\leq x_{i} \,\,\leq 6,\,\,1\,\,\leq i \,\,\leq 4 $

Resolviendo esta ecuación se obtiene:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=22$

He eliminado la restricción de $x_{i} \geq 1$ primero como sigue-:

$\Rightarrow x_{1}^{'}+1+x_{2}^{'}+1+x_{3}^{'}+1+x_{4}^{'}+1=22$

$\Rightarrow x_{1}^{'}+x_{2}^{'}+x_{3}^{'}+x_{4}^{'}=18$

$\Rightarrow \binom{18+4-1}{18}=1330$

Ahora he eliminado la restricción para $x_{i} \leq 6$ calculando el número de casos malos y luego restarlo de $1330$ :

calculando mala combinación es decir $x_{i} \geq 7$

$\Rightarrow x_{1}^{'}+x_{2}^{'}+x_{3}^{'}+x_{4}^{'}=18$

Podemos distribuir $7$ a $2$ de $x_{1}^{'},x_{2}^{'},x_{3}^{'},x_{4}^{'}$ es decir $\binom{4}{2}$

Podemos distribuir $7$ a $1$ de $x_{1}^{'},x_{2}^{'},x_{3}^{'},x_{4}^{'}$ es decir $\binom{4}{1}$ y luego entre todos los demás .

es decir

$$\binom{4}{1} \binom{14}{11}$$

Por lo tanto, el número de combinaciones malas es igual a $$\binom{4}{1} \binom{14}{11} - \binom{4}{2}$$

Por lo tanto, la solución debería ser:

$$1330-\left( \binom{4}{1} \binom{14}{11} - \binom{4}{2}\right)$$

Sin embargo, estoy obteniendo un valor negativo. ¿Qué estoy haciendo mal?

EDITAR

Pregunto por mi enfoque, porque si la pregunta es para un número mayor de dados y si la suma es mayor, entonces la predicción del valor de los dados no funcionará.

Answer 1

No hay demasiados para contarlos.

Permutaciones de $6+6+6+4$ : $\binom41=4$

Permutaciones de $6+6+5+5$ : $\binom42=6$

Estas son las únicas opciones, por lo que su numerador debe ser $4+6=10$

Answer 2

El criterio de las malas combinaciones es al menos uno $x_i \geq 7$ .

El número de combinaciones malas cuando:

1. Uno de $x_i$ está obligado a ser mayor o igual que $7$ es $\binom{4}{1}\binom{12 + 4 - 1}{12} = 1820$ .

2. Dos de $x_i$ están obligados a ser mayores o iguales a $7$ es $\binom{4}{2}\binom{6+4-1}{6} = 504$ .

3. Tres de $x_i$ están obligados a ser mayores o iguales a $7$ es $\binom{4}{3}\binom{0+4-1}{0} = 4$ .

4. Cuatro de $x_i$ están obligados a ser mayores o iguales a $7$ es $0$ .

Así que, malas combinaciones totales $= 1820 - 504 + 4 - 0 = 1320$

Utilicé $n(\cup_{i=1}^{4}A_i) = \sum_{i=1}^{4}n(A_i) - \sum_{i,j, i\neq j}n(A_i\cap A_j) + \ldots$

Así, las posibles combinaciones $= 1330 - 1320 = 10$ .

Answer 3

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

El número de configuraciones que satisfacen "la suma es $\ds{22}$ " está dada por:

\begin{align} X & = \sum_{d_{1} = 1}^{6}\sum_{d_{2} = 1}^{6}\sum_{d_{3} = 1}^{6}\sum_{d_{4} = 1}^{6} \bracks{z^{22}}z^{d_{1} + d_{2} + d_{3} + d_{4}} = \bracks{z^{22}}\pars{\sum_{d = 1}^{6}z^{d}}^{4} = \bracks{z^{22}}\pars{z\,{z^{6} - 1 \over z - 1}}^{4} \\[5mm] & = \bracks{z^{18}}{1 - 4z^{6} + 6z^{12} - 4z^{18} + z^{24}\over \pars{1 - z}^{4}} \\[5mm] & = \bracks{z^{18}}\pars{1 - z}^{-4} - 4\bracks{z^{12}}\pars{1 - z}^{-4} + 6\bracks{z^{6}}\pars{1 - z}^{-4} - 4\bracks{z^{0}}\pars{1 - z}^{-4} \\[5mm] & = {-4 \choose 18}\pars{-1}^{18} - 4{-4 \choose 12}\pars{-1}^{12} + 6{-4 \choose 6}\pars{-1}^{6} - 4 = {21 \choose 18} - 4{15 \choose 12} + 6{9 \choose 6} - 4 \\[5mm] & = 1330 -4 \times 455 + 6 \times 84 - 4 = \bbx{10} \end{align}

Answer 4

Para que la suma sea igual a 22, o bien tres dados son iguales a $6$ y uno es igual a $4$ o dos dados iguales $6$ y dos dados iguales $5$ . El número de resultados válidos es, por tanto, igual:

$${4 \choose 1} + {4 \choose 2} = 4 + 6 = 10$$

Así, la probabilidad de que los cuatro dados tengan una suma de $22$ igual:

$$\frac{{4 \choose 1} + {4 \choose 2}}{6^4} = \frac{10}{1296} = \frac{5}{648} \approx 0.00772$$

Answer 5

@expiTTp1z0 ha abordado dónde cometió su error.

Voy a mostrarte cómo puedes reducir el problema dado a uno más sencillo utilizando la simetría.

Se desea encontrar el número de soluciones de la ecuación $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 22 \tag{1}$$ en números enteros positivos no superiores a $6$ . Desde $x_k$ , $1 \leq k \leq 4$ es un número entero positivo que satisface $x_k \leq 6$ entonces $y_k = 7 - x_k$ es también un número entero positivo no superior a $6$ . Sustituyendo $7 - y_k$ para $x_k$ , $1 \leq k \leq 4$ en la ecuación 1 se obtiene \begin{align*} 7 - y_1 + 7 - y_2 + 7 - y_3 + 7 - y_4 & = 22\\ -y_1 - y_2 - y_3 - y_4 & = -6\\ y_1 + y_2 + y_3 + y_4 & = 6 \tag{2} \end{align*} La ecuación 2 es una ecuación en los enteros positivos cuando se imponen las restricciones dadas. Una solución particular de la ecuación corresponde a la colocación de un signo de suma en tres de los cinco espacios entre unos sucesivos en una fila de seis unos. Por ejemplo, $$1 + 1 1 + 1 + 1 1$$ corresponde a la solución $y_1 = 1$ , $y_2 = 2$ , $y_3 = 1$ y $y_4 = 2$ (o $x_1 = 6$ , $x_2 = 5$ , $x_3 = 6$ , $x_4 = 5$ ) mientras que $$1 1 1 + 1 + 1 + 1$$ corresponde a la solución $y_1 = 3$ , $y_2 = y_3 = y_4 = 1$ (o $x_1 = 4$ , $x_2 = x_3 = x_4 = 6$ ). Por lo tanto, el número de soluciones de la ecuación 2 en los enteros positivos es el número de formas de seleccionar cuáles son los tres espacios entre unos sucesivos en una fila de seis unos que se llenarán con signos de adición, que es $$\binom{5}{3} = 10$$

Nota : Si se prefiere trabajar en los enteros no negativos, entonces deseamos encontrar el número de soluciones de la ecuación $$x_1' + x_2' + x_3' + x_4' = 18 \tag{$ 1' $}$$ con las restricciones que $x_k' = x_k - 1 \leq 6 - 1 = 5$ para $1 \leq k \leq 4$ . Desde $x_k'$ , $1 \leq k \leq 5$ es un número entero no negativo que no excede de $5$ Así es $y_k' = 5 - x_k'$ . Sustituyendo $5 - y_k'$ para $x_k'$ en la ecuación 1' y simplificando se obtiene $$y_1' + y_2' + y_3' + y_4' = 2 \tag{$ 2' $}$$ que es una ecuación en los enteros no negativos. Una solución particular corresponde a la inserción de tres signos de adición en una fila de dos unos. Por ejemplo, $$+ + + 1 1$$ corresponde a la solución $y_1 = y_2 = y_3 = 0$ , $y_4 = 2$ (o $x_1 = x_2 = x_3 = 6$ , $x_4 = 4$ ), mientras que $$1 + 1 + +$$ corresponde a la solución $y_1 = y_2 = 1$ , $y_3 = y_4 = 0$ (o $x_1 = x_2 = 5$ , $x_3 = x_4 = 6$ ). Así, el número de soluciones de la ecuación 2 en los enteros no negativos es $$\binom{2 + 3}{3} = \binom{5}{3}$$ ya que debemos elegir qué tres de las cinco posiciones (dos unos y tres signos de adición) se llenarán con signos de adición.