Estoy tratando de calcular:
$$ I_{n}=\int \tan(x)^n \mathrm dx$$
Tenemos:
$$ I_{n}+I_{n-2}=\int (1+\tan(x)^2)\tan(x)^{n-2} \mathrm dx$$
$$ I_{n}=\frac{1}{n-1}\tan(x)^{n-1}-I_{n-2}+C$$
Que da las fórmulas:
$$ \int \tan(x)^{2n} \mathrm dx= \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{2n-(2k+1)}\tan(x)^{2n-(2k+1)}+(-1)^nx+C$$
$$ \int \tan(x)^{2n+1} \mathrm dx=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{2(n-k)}\tan(x)^{2(n-k)}+(-1)^{n+1}\ln(\cos(x))+C$$
Gustaría saber si estas igualdades son correctas.
