Cómo encontrar este límite extraño

Question

encontrar este extraño límite

$$\lim_{x\to 0}\dfrac{\arcsin{\arctan{\sin{\tan{\arcsin{\arctan{x}}}}}}-\sin{\tan{\arcsin{\arctan{\sin{\tan{x}}}}}}}{\arctan{\arcsin{\tan{\sin{\arctan{\arcsin{x}}}}}}-\tan{\sin{\arctan{\arcsin{\tan{\sin{x}}}}}}}\cdots (1)$$

y creo que este límite es $1$,Pero no puedo tener la prueba.

así que he encontrado que esto siga el mismo límite(Pero esto no es difícil)

$$\lim_{x\to0}\dfrac{\sin{\tan{x}}-\tan{\sin{x}}}{\arcsin{\arctan{x}}-\arctan{\arcsin{x}}}=1$$

y este límite es muy famoso,y este problema tiene dos métodos(tal vez tiene más métodos) esta prueba [1] se puede ver:http://math.berkeley.edu/~giventh/lim.pdf

y la prueba [2] se puede ver http://www.stewartcalculus.com/data/ESSENTIAL%20CALCULUS%202e/upfiles/instructor/ess_wp_0807a_inst.pdf

y la prueba [3] se puede ver: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=67&t=360183

Ahora $(1)$ Cómo demostrarlo.Gracias .

Answer 1

Basta saber que $$\begin{align}\sin(x)&=x-\tfrac16x^3+O(x^4)\\ \tan(x) &= x+\tfrac13x^3+O(x^4)\\\arcsin(x)&=x+\tfrac16x^3+O(x^4)\\\arctan(x) &= x-\tfrac13x^3+O(x^4)\end{align}$$ and observe that $f(x)=x+ax^3+O(x^4)$, $g(x)=x+bx^3+O(x^4)$ implies that $f(g(x))=x+(a+b)x^3+O(x^4)$. [This also shows why the inverse functions have the coefficient of $x^3$ negado.] Sobre todo, cuando se trabaja solo modulo $O(x^4)$ composición se convierte en conmutativa y la mayoría de las $\sin$ $\tan$ cancelar en contra de $\arcsin$$\arctan$, respectivamente. De esta manera, el numerador se convierte en $$ x+(\tfrac16-\tfrac13)x^3 - x- (\tfrac13-\tfrac16)x^3+O(x^4)=-\tfrac13x^3+O(x^4)$$ [sólo necesitamos que no es $0+O(x^4)$ accidentalmente] y el denominador de la misma (por conmutatividad!), por tanto, el cociente es $$ 1+O(x)$$ y por lo tanto el límite como $x\to 0$$1$. El resultado no cambia cuando se agrega más complextity mediante la adición de rondas adicionales en el mismo patrón.

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Comentario: no es necessariy para encontrar el límite, pero más precisamente el cociente es $1-\tfrac 12x^6+O(x^8)$.

En una forma más abstracta formulación, he utilizado este: El conjunto de gérmenes de funciones $f$ analítica en $0$ con $f(0)=0$, $f'(0)=1$, $f''(0)=0$ forma un grupo en la composición y $f\mapsto f'''(0)$ es un grupo homomorphism a $\mathbb R$. Una declaración similar en la que no se sostiene si se aumenta la precisión en el fin de manejar más de un trivial coeficiente.