Ejercicio de opción múltiple en $f(x)= \frac {\sin x}{|x|+ \cos x}$

Question

Deje $f : \Bbb R \to \Bbb R$ sea la función definida por $f(x)= \frac {\sin x}{|x|+ \cos x}$. Entonces

A.$f$ es diferenciable en todos los $x \in \Bbb R$.

B.$f$ no es diferenciable en a $x =0$.

C.$f$ es diferenciable en a $x=0$ pero $f'$ no es continua en a $x=0$.

D.$f$ no es diferenciable en a $x=\frac {\pi}{2}$.

Usando el estándar de la definición de derivada, tengo que $f$ es diferenciable en a$0$$\frac {\pi}2$. Esto es como sigue,

$\lim_{h \to 0} \frac {f(0+h)-f(0)}{h}=1=\lim_{h \to 0} \frac {f(0-h)-f(0)}{-h}$

y

$\lim_{h\to 0} \frac {f(\frac {\pi}2 +h)-f(\frac {\pi}{2})}{h}=0=\lim_{h \to 0} \frac {f(\frac {\pi}2 -h)-f(\frac {\pi}2)}{-h}$ el uso de L'Hospital de la regla en una etapa.

De ahí que eliminar las opciones B y D.

Desde $0$ fue el único punto dudoso para comprobar sobre la diferenciabilidad, puedo elegir la opción a como la respuesta.

Me arrepiento un poco de no saber cómo verificar la validez de la opción C. me Puede decir como para demostrar que el mal?

Answer 1

Una es la verdadera respuesta

Por definición de la derivada $$f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{\frac{\sin h} {a|h|+\cos h} - \frac{\sen 0}{0+1} }h= \lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h(|h|+\cos h)} $$ Tenga en cuenta que (el uso de L'Hospital y, a continuación, sustitución) $$ \lim_{h\to0^+}\frac{\sin h}{h(|h|+\cos h)}=\lim_{h\to0^+}\frac{\sin h}{h(h+\cos h)}=\lim_{h\to0^+}\frac{\cosh}{2h+\cos h - h\sinh)}=1 $$

Compruebe por sí mismo que también $$ \lim_{h\to0^-}\frac{\sin h}{h(|h|+\cos h)}= \lim_{h\to0^-}\frac{\sin h}{h(-h+\cos h)}=1 $$

A la conclusión de que $f'(0)=1$

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Así que usted tiene que $f'(0)$ se define, para mostrar $f'$ es continua en a $x=0$ en la necesidad de mostrar, por ejemplo, que $$\lim_{x\to0} f'(x)=f'(0)$$

$$\lim_{x\to0} f'(x) = \lim_{x\to0}\lim_{h\to0}\frac{\frac{\sin x+h}{|x+h|+\cos (x+h)} - \frac{\sin x}{|x|+\cos x} }h= \lim_{h\to0}\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin x+h}{|x+h|+\cos (x+h)} - \frac{\sin x}{|x|+\cos x} }h=f'(0) $$ Los cambios en el orden de límites está permitido cuando la función es uniformemente continua. Una función continua en un conjunto compacto es uniformemente continua, así que todo está bien aquí, pero supongo que no te gusta este tipo de respuesta:)

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El uso de $x\ne0$: $|x|'=\mathrm{sgn}(x)$ donde $$\mathrm{sgn}(x) = \begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}$$ $$f'(x)=\frac{\cos (x)}{\left| x\right| +\cos (x)}-\frac{\sin (x) (\mathrm{sgn}(x)-\sin (x))}{(\left| x\right| +\cos (x))^2},\quad x\ne0$$

$$\lim_{x\to0^+} f'(x) = \frac{1}{0 +1}-\frac{0 (0-0)}{(0 +1)^2}=1$$

Del mismo modo $$\lim_{x\to0^-} f'(x) = 1$$ A la conclusión de $$\lim_{x\to0} f'(x)=f'(0)$$ y que hecho.

Answer 2

Creo que buscas una respuesta descriptiva, aún dejándolo aquí como una respuesta puesto que explica tu duda.

Del gráfico:

Donde verde de $f$% el #%, azul #%, rojo $f'$. $f''$ es claramente continua pero no diferenciable en $f'$

Answer 3

Según la discusión con @Quintic en los comentarios anteriores,

$f'(x)=\frac {1+|x|\cos x-\frac {x}{|x|} \sin x}{(|x|+\cos x)^2}$.

Ahora, $\lim_{h \to 0} f'(0+h)=\lim_{h \to 0} \frac {1+|h|\cos h-\frac {h}{|h|}\sin h}{(|h|+\cos h)^2}=\lim_{h \to 0}\frac {1+h\cos h-\sin h}{(h+\cos h)^2}$. (Donde $h \gt 0$)

$\Rightarrow \lim_{h\to 0} f'(0+h)=\frac {1+0-0}{(0+1)^2}=1.$

Del mismo modo, $\lim_{h\to 0} f'(0-h)=\lim_{h\to 0} \frac {1+h\cos h-\sin h}{(h+\cos h)^2}$ (donde $h \gt 0)$

$\Rightarrow \lim_{h\to 0} f'(0-h)=1$.

Por lo tanto $\lim_{h\to 0} f'(0+h)=\lim_{h\to 0} f'(0-h) \Rightarrow$ $f'$ es continua en $x=0$.