Demostrar que $C^1[0,1]$ no es completa con las normas

Question

Tengo que mostrar que el $C^1[0,1]$ no está completa con cualquiera de estas normas:

• $\|f\|_{\infty}=\sup_{x\in[0,1]}|f(x)|$
• $\|f\|_{*}=|f(0)|+\int_0^1|f'(x)|dx$

Mi intento

La secuencia correcta para la primera norma es $f_n=\sqrt{x+\frac{1}{n}}$.

Observe que $\forall n\in\mathbb{N} : f_n\in C^1[0,1]$

Deje $f=\sqrt{x}$

Vemos que $(f_n)$ converge a $f$ en sup norma en $C[0,1]$, por lo tanto es de Cauchy.

$C^1[0,1]$ es un subespacio de $C[0,1]$ y todos los términos de $(f_n)$$C^1[0,1]$, lo $(f_n)$ es de Cauchy en $C^1[0,1]$

Pero $f$ no $C^1[0,1]$. Por lo $C^1[0,1]$ con sup norma no es completa.

Cuando se trata de la segunda norma, creo que la misma secuencia será también muy bien. Estoy en lo cierto?

Answer 1

Sí. Sus mismas funciones deben trabajar para $\| \cdot \|_*$. Desde luego, tenga en cuenta que si $n > m$, entonces el $|f'_n(x) - f'_m(x)| = f'_n(x) - f'_m(x)$. Por lo tanto, $$\int_0^1 |f'_m(x) - f'_n(x)| \,dx = \int_0^1 f'_n(x)\,dx - \int_0^1 f'_m(x) \, dx = f_n(1)-f_m(1) + f_m(0) - f_n(0) \\ = \sqrt{1+\frac{1}{n}} - \sqrt{1+\frac{1}{m}} + \sqrt{\frac{1}{m}} - \sqrt{\frac{1}{n}}.$ $

De esto se deduce que para cualquier $n, m \in \Bbb{N}$ % $ $$\| f_n(x) - f_m(x) \|_* \leq 2\left| \sqrt{\frac{1}{n}} - \sqrt{\frac{1}{m}} \right| + \left| \sqrt{1 + \frac{1}{n}} - \sqrt{1 + \frac{1}{m}} \right|$que va a $0$ $n, m \to \infty$, por lo tanto, $\{f_n\}$ Cauchy se encuentra en $\| \cdot \|_*$.