Densidad de probabilidad multivariante - Ayuda con una integral

Question

Me gustaría que me ayudaran a resolver este problema sobre densidades de probabilidad multivariantes.

Que las variables aleatorias X e Y tengan la densidad conjunta f(x,y) = 1/y para 0 < x < y < 1 y 0 en caso contrario. Encuentre P(X+Y > 0,5).

Mi problema es que de cualquier forma que conozca para plantear la integral doble, obtengo una integral de 1/y (o, cambiando a las variables s y t, 1/t) con un límite inferior de integración de 0, pero dicha integral no converge. Si no supiera que la respuesta es 0,6534, asumiría que el límite inferior de integración en la dirección vertical debería ser x, pero eso produce un resultado que incluye ln x, no una constante.

Envié un correo electrónico a mi profesora pidiendo ayuda, pero su respuesta no me sirvió de nada. Tal vez lo sea para ti. Me dijo: "te has saltado la condición de que la densidad sea positiva, así que tienes que integrar sobre un área diferente. Y para simplificar las cosas, calcula P(X+Y<0,5) y réstale 1".

Entiendo por qué a menudo es más fácil encontrar una probabilidad complementaria y restarla de 1, pero aquí no veo cómo podría ayudar porque no sé cómo hacer que el límite inferior de la integración en la dirección vertical sea cualquier cosa que no sea 0 o x. Debo estar tratando de integrar sobre la región equivocada.

La región que me parece correcta es la región del cuadrado unitario sobre la línea x+y=0,5. Es decir, un trapecio con vértices (0, 0,5), (0, 1), (1, 1), (1, 0) y (0,5, 0).

¿Cómo definiría la región de forma diferente, o cómo se integraría de forma diferente? Muchas gracias por su ayuda.

ACTUALIZACIÓN: He descubierto que, efectivamente, me he equivocado de región de integración. Cuando mi profesora me dijo que me faltaba la condición de que la densidad fuera positiva, me estaba dando a entender que tenía que hacer cumplir la condición de que Y > X. Así que tenía que añadir la línea y=x a mi gráfica y restringir la integración al área por encima de ella (pero aún por debajo de y=1, obviamente).

Así, la región de integración pasó a ser el cuadrilátero con vértices (0, 1/2), (0, 1), (1, 1) y (1/4, 1/4). La única forma que conozco de hacer la integración requiere dividir esta región en dos subregiones. Para dividirlas horizontalmente, con dx en el exterior y dy en el interior, estas son las dos integrales dobles (para las subregiones de la izquierda y la derecha, respectivamente):

$ P(X+Y>0.5) = \int_0^.25 \int_{0.5-x}^1 \frac{1}{y}\,dy\,dx + \int_{0.25}^1 \int_x^1 \frac{1}{y}\,dy\,dx $

La integral de la izquierda es igual a 0,25, y la integral de la derecha es igual a 0,75 + 0,25(ln 0,25), para un total de 1 + 0,25(ln 0,25) = 0,6534.

Answer 1

El uso de integrales múltiples exige tener en cuenta todas las restricciones. Un enfoque ordenado funciona a través de funciones indicadoras, utilizando tantas como sean necesarias. La probabilidad $\mathbb{P}(X+Y > 0.5)$ puede representarse como \begin {align*} \underbrace { \iint_ {[0,1]^2}}_{ \substack { \text {alcance máximo} \\\text {para $x$ y $y$ }}} \mathbb {I}_{x+y>0,5}\N-, \mathbb {I}_{0<x<y<1}\N-, \frac {1}{y} \text {d}x \text {d}y&= \underbrace { \overbrace { \int_0 ^1\, \int_0 ^y}^{ \substack { \text {límites exteriores:} \\\text {gama de $y$ }}}}_{ \substack { \text {límites interiores:} \\\text {condicional} \\\text {gama de $x$ }}} \mathbb {I}_{x+y>0,5}\N-, \frac {1}{y} \text {d}x \text {d}y \\ &= \int_0 ^1\, \int_0 ^y \mathbb {I}_{x>0,5-y}\N-, \frac {1}{y} \text {d}x \text {d}y \\ &= \int_0 ^1\, \int_ { \max (0,0,5-y)}^y \underbrace { \mathbb {I}_{y>0,5-y}{} \substack { \text {como $x<y$ } \\\text {y $x>0.5-y$ }}} \frac {1}{y} \text {d}x \text {d}y \end {align*} y \begin {align*} \int_0 ^1\, \int_ { \max (0,0,5-y)}^y \mathbb {I}_{y>0,5-y}\N-, \frac {1}{y} \text {d}x \text {d}y&= \int_0 ^{0.5} \mathbb {I}_{y>0,25}\N-, \int_ {0,5-y}^y \frac {1}{y} \text {d}x \text {d}y+ \overbrace { \int_ {0.5}^1\, \int_ {0}^y}^{ \substack { \text {sin restricciones} \\\text { $y$ cuando $y>0.5$ }}} \frac {1}{y} \text {d}x \text {d}y \\ &= \int_ {0.25}^{0.5}\, \int_ {0,5-y}^y \frac {1}{y} \text {d}x \text {d}y+ \int_ {0.5}^1\, \int_ {0}^y \frac {1}{y} \text {d}x \text {d}y \end {align*} A partir de ahí deberías ser capaz de concluir sobre el valor de esta probabilidad, $1-\log(\sqrt{2})$ .