Un sumatorio binomial inverso.

Question

Estoy buscando una forma cerrada para esta suma: $$ \sum_{j=1}^m\frac{r^{-j}}{j{m\choose j}} = \sum_{j=1}^m\frac{r^{-j}}{m{m-1\choose j-1}} = \frac1{rm} \sum_{k=0}^{m-1}\frac{r^{-k}}{{m-1\choose k}} $$ miré algunas tablas de sumas binomiales pero no pude encontrar nada similar a esto. ¿Alguien me podria ayudar a simplificar esta suma? ¿O encontrar un límite superior?

Gracias.

Answer 1

La siguiente no forma cerrada, pero no proporciona una forma alternativa de la suma que usted puede encontrar útil.

Asumiendo $r \neq 0$$r \neq -1$, se puede generalizar el resultado de esta respuesta, en la cual se analiza el caso de $r=1$, para obtener una suma equivalente. Tenemos

$$\frac{1}{m}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{r^{-k}}{{m-1 \elegir k}} = \frac{1}{m}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{\Gamma(k+1)\Gamma(m-k)}{\Gamma(m)}r^{-k} = $$ $$\sum_{k=0}^{m-1}\beta(k+1, m-k)r^{-k}$$

Donde $\Gamma$ es la función gamma y $\beta$ es la función beta. El uso de la forma integral de la función beta, esta suma es igual a

$$\sum_{k=0}^{m-1}r^{-k}\int_{0}^{1}t^k(1-t)^{m-k-1}\operatorname{d}t = \int_{0}^{1}\sum_{k=0}^{m-1}\left(\frac{t}{r}\right)^k(1-t)^{m-k-1} \operatorname{d} t =$$ $$\int_{0}^{1}\frac{\left(\frac{t}{r}\right)^m - (1-t)^m}{\frac{t}{r} - (1-t)} \operatorname{d} t $$

Hacer la expansión $u = \left(\frac{t}{r}\right) - (1-t)$ suponiendo que $r \neq -1$ lleva a la forma $$\frac{r}{\left(r+1\right)^{m+1}}\int_{-1}^{\frac{1}{r}}\frac{ (u+1)^{m+1} - (1-ru)^m}{u}\operatorname{d} u =$$

$$\frac{r}{(r+1)^{m+1}}\left[\int_{-1}^{\frac{1}{r}}\frac{(u+1)^m - 1}{u} \operatorname{d}u + r\int_{-1}^{1/r}\frac{1 - (1 - ru)^m}{ru} \operatorname{d}u \right] =$$

$$\frac{r}{(r+1)^{m+1}}\left[\int_{-1}^{\frac{1}{r}}\sum_{k=0}^{m-1}(1+u)^k \operatorname{d}u + r\int_{-1}^{\frac{1}{r}}\sum_{k=0}^{m-1}(1-ru)^k \operatorname{d} u\right] =$$

$$\frac{r}{\left(r+1\right)^{m+1}}\sum_{k=0}^{m-1}\left[\frac{\left(1 + \frac{1}{r}\right)^{k+1}}{k+1} + \frac{(1+r)^{k+1}}{k+1}\right] =$$

$$r\sum_{k=0}^{m-1}\frac{\left(1+r\right)^{k-m}}{k+1}\left(1 + \frac{1}{r^{k+1}} \right)$$

De donde se sigue que

$$\sum_{j=1}^{m}\frac{r^{j}}{j {m \elegir j}} = \frac{1}{rm}\sum_{k=0}^{m-1} \frac{r^{-k}}{{m-1 \elegir k}} =$$

$$\sum_{k=0}^{m-1}\frac{\left(1+r\right)^{k-m}}{k+1}\left(1 + \frac{1}{r^{k+1}} \right)$$

La alimentación de esta nueva forma de la suma a Wolfram Alpha le dio una forma cerrada en términos de funciones especiales, pero no parece ser válido para todos los $r \noen \left\{0,-1\right\}$. No parece probable que una buena forma cerrada existe, pero tal vez la nueva forma he demostrado que te ayudará a encontrar un límite superior que se adapte a sus propósitos.

El caso de $r = -1$ debe ser tratado por separado. Una forma cerrada para este caso se da en este papel, junto con una más general de la forma de el resultado que acaba de probar.