La función compleja $\log(1+e^{iz})$

Question

G. H. Hardy dice lo siguiente:

La función de una variable compleja $z$

$$ e^{i p z} \log(1 \pm e^{i})\frac{1}{z^{2} \pm \theta^{2}} = f(z) \ (-1 < p <1, \theta >0),$$ es infinitamente muchos valiosos, pero puede hacerse de un solo valor por corte longitudinal del avión a lo largo del eje real y la restricción de la variable a la la mitad superior.

Luego más tarde dice

De nuevo, $\log(1+e^{iz})$ se muestra de inmediato un imaginario la parte que no exceda el $i \pi$ $z$ viaja a lo largo del eje real.

Él no muestra nada después de esto, así que estoy tratando de entender por qué la segunda afirmación es verdadera.

Podemos definir a la $\log(1+e^{iz})$ por $$\log(1+e^{iz})= \int_{0}^{z}\frac{ie^{iw}}{1+e^{iw}} \ dw + \log 2$$ where the integration is on the complex plane and where $\log(1+e^{i})$ is defined to be real-valued at $z=0$.

El integrando de manera sencilla pol $z = n \pi$ con residuo $1$.

Entonces, ¿no la parte imaginaria de $\log (1+e^{iz})$ disminución $i \pi$ cada vez que se mueve alrededor de uno de los polos en el eje real de izquierda a derecha?

Answer 1

y la restricción de la variable a la mitad superior.

Consideramos que sólo $z$$\operatorname{Im} z > 0$, e $\lvert e^{iz}\rvert < 1$ a continuación, por lo $1+e^{iz}$ se encuentra en la mitad derecha del plano -, y tenemos una rama de $\log (1+e^{iz})$ en la mitad superior del plano cuya parte imaginaria es menos de $\frac{\pi}{2}$ en valor absoluto. Por lo tanto si

De nuevo, $\log(1+e^{iz})$ se muestra de inmediato un imaginario de la parte que no exceda el $i\pi$ $z$ viaja a lo largo del eje real.

se refiere a los valores de límite de la anterior rama, como parece razonable, el acotamiento de la parte imaginaria es inmediata. En la integral

$$\int_0^z \frac{ie^{iw}}{1+e^{iw}}\,dw,$$

uno no toma el valor principal de Cauchy para lidiar con los polacos, pero la vuelta con un pequeño semicírculo en la mitad superior del plano -, que en el límite, como el radio de la auxiliar de semicírculos se reduce a $0$, aporta un salto de $-\pi i \operatorname{res}\left(\frac{ie^{iw}}{1+e^{iw}}; (2n+1)\pi\right) = -\pi i$ en los polos, manteniendo el valor dentro de los citados límites.

Para $\log (1-e^{iz})$, la situación es similar, excepto que los polos están en $2n\pi$ en lugar de $(2n+1)\pi$.