¿Por qué vale la pena invertir tiempo en la teoría tipo?

Question

Mirando a su alrededor hay tres candidatos para "fundamentos de matemáticas":

• la teoría de conjuntos
• categoría de la teoría de la
• tipo de teoría

No es un trabajo seminal de relacionar estos tres temas:

A partir de los Conjuntos de Tipos de Categorías de Conjuntos de Steve Awodey

Pero en este foro (MSE) y su compañero (MO), la etiqueta [tipo de teoría] es en serio subrepresentadas. A partir de hoy (2013/11/13) (preguntas por etiqueta):

MSE

• teoría de conjuntos: 1866
• categoría de la teoría: 1658
• tipo de teoría: 39

MO

• teoría de conjuntos: 1437
• categoría de la teoría: 1920
• tipo de teoría: 40

¿Qué significa esto? Es el tipo de teoría que un engaño? Por ejemplo, me tropecé con este MSE comentario (por un aprendidas miembro):

[...] un montón de gente [en el tipo de teoría de la comunidad] no sabía lo que realmente hablar (en comparación, digamos, clásica el análisis, donde las definiciones son muy claras y concretas). Estoy seguro de que que eso no es 100% verdadera en el real de la gente, pero esa impresión hizo quedarse conmigo. [...]

Me gustaría aprender de la MSE - y MO-de la comunidad (resp. sus expertos):

¿Por qué vale la pena invertir tiempo en la teoría tipo?

Answer 1

Tipo de teoría es la teoría de conjuntos qué funciones computables son funciones usuales. Es una configuración constructiva para hacer matemáticas, por lo que permite tratar con cuidado con lo que puede o no puede ser computado/decidido (ver intensionality vs extensionality, o los diferentes conceptos de la reducción y conversión en $\lambda$-cálculo). Además, como categoría de la teoría, se da una gran visión sobre cómo ciertos objetos matemáticos no son sino casos particulares de una construcción en general, en una muy abstracta y de una manera poderosa. Buscar las proposiciones como los conjuntos y las pruebas-como-los programas de paradigmas para ver lo que quiero decir (pero hay mucho más que eso).

Ahora, como siempre, hay algunas desventajas. Estoy pensando en dos razones de por qué tipo de teoría no ha tenido mucho éxito entre el público general matemáticos:

En primer lugar, el tipo de teoría no permitir el abuso del lenguaje. Por ejemplo, en el tipo de teoría es generalmente el caso de que si $A$ es un conjunto, entonces un subconjunto de a $A$ no es un conjunto. Se trata de un tipo completamente diferente de la entidad: probablemente será una función proposicional, es decir, algo que elementos de mapas de $A$ a las proposiciones. Otro ejemplo: si $n$ es un número natural, entonces $n$ no es un número entero (pero algo como $\mathsf{int}(n)$). Distinciones como estos hacen que algunos matemáticos incómodo, pero resultan útiles en tratar con ciertas cosas que son tal vez más interesante para los científicos de la computación (y, por supuesto, los lógicos).

Segundo, no hay ningún "canónica" de la teoría tipo. La mayoría de las matemáticas se hace en la teoría de conjuntos se basa en realidad en $\mathsf{ZFC}$ (o algunos de extensión de la misma). Pero el hecho de que hay muchos tipos diferentes de tipo de teorías facilita la comunicación entre las personas más difíciles.

De todos modos, ha habido muchos intentos para empezar a desarrollar algo de matemáticas tipo de teorías, y algunos de ellos han tenido bastante éxito: véase, por ejemplo, la obra de G. Gonthier con Coq, una prueba asistente basado en un tipo de llamada teoría del Cálculo de Construcciones Inductivas.

Answer 2

¿Qué es exactamente (simple) tipo de teoría? Después de leer algunos relatos históricos sobre el desarrollo de la lógica, realmente quería saber la respuesta. Sin embargo, seguí perderse en la aparente trivialidad de la (escrito) cálculo lambda que recibí como respuesta cuando traté de mirar hacia arriba. Este triste estado de cosas se resolvió cuando me llegó a través de "Las siete virtudes de tipo simple teoría" por William M. Agricultor. Para mi deleite y sorpresa, resultó que "de tipo simple teoría" es un elegante formulación de orden superior de la lógica. Hay incluso un sencillo y elegante a prueba de sistema, la cual tiene la misma consistencia que la fuerza delimitada Zermelo la teoría de conjuntos (un predicativo del sistema, también conocido como Mac Lane teoría de conjuntos). Sin embargo, la última reclamado en virtud de que el artículo es la Virtud 7 Hay práctica extensiones de STT que puede aplicarse de manera efectiva. La correspondiente sección 8 Practicidad contiene una interesante selección de elementos de la caja de Pandora, si puede decirse así.

Permítanme añadir algunas reflexiones en respuesta a la caja de Pandora y Luca Bressan del comentario. Existe muchas variaciones de tipo de teoría, exactamente porque es muy práctico sistema lógico. Sin embargo, esto lleva a muchos tipos de (terminología) confusión. Es "de tipo simple de la teoría de" la misma cosa como "de tipo simple cálculo lambda"? En qué medida son polimorfismo, subtipos y tipos de dependientes importante? Son utilizados por homotopy tipo de teoría? ¿Qué acerca de intuitionistic variantes? Es (homotopy) tipo de teoría constructiva, o al menos predicativo?

Aprendí a ya no te preocupes por ese tipo de preguntas. Yo estoy feliz de que ahora tengo suficiente requisitos previos para comprender mejor algunos artículos sobre la historia de la lógica. Además, ahora puedo leer el artículo y los libros que esperar una cierta familiaridad con el tipo de teoría. Esto incluye material relacionado con Haskell, automática de teoremas, y por supuesto la HoTT libro.

Answer 3

Descargo de responsabilidad: estoy empezando a aprender el tipo de teoría, así que yo no soy un experto.

Personalmente he encontrado los siguientes cierta razón muy buena para el tipo de estudio de la teoría.

• Para iniciar tipo de teoría es un tipo diferente de fundacional de la teoría, y, a veces, trabajar en diferentes antecedentes puede ser interesante.

• Como Miha Habič señaló que la teoría de conjuntos tiene mucho de la idiosincrasia de hacer todos los clásicos de la construcción de las matemáticas. Tipo de teoría es libre de estas construcciones difíciles y todos los objetos que se construya de una manera más natural: aunque tengo que admitir que lo natural es una cuestión de gustos.

• El tipo de teoría que es también una teoría que se ha conectado con el cálculo de la teoría: es una constructivo fundamental de la teoría y tiene un profundo vínculo con las ciencias de la computación, en particular, es un sistema formal que es también un lenguaje de programación y por lo que permite desarrollar fácilmente la prueba auxiliar que puede ser de ayuda en la verificación de la corrección de la prueba. Haciendo que en la clásica teoría de conjuntos puede ser más difícil, por lo que puedo conseguir.

Supongo que hay muchas otras buenas razones para aprender el tipo de teoría, que no estoy al tanto para saber.

Edit: acabo de ver que no he abordado en la primera parte, la de qué tipo de teoría es por lo que muy pocos pregunta sobre SE y MO en el tipo de teoría. Todavía una conjetura, pero supongo que es debido a dos hechos:

• tipo de teoría, en su forma es bastante nuevo, yal parecer eso es falso, ver ZhenLin comentario más abajo) antes de la Homotopy Tipo de Teoría del libro nunca he oído hablar de una referencia que introducir el tipo de teoría en una forma intuitiva: supongo que el hecho de la teoría tipo realmente una cosa para la gente interesada en la computación teoría y la lógica matemática;
• casi todas las matemáticas tenía que ser escrito en términos de conjuntos, esto probablemente contribuyen en mantener a más personas interesadas en la teoría de los conjuntos más bien el tipo de teoría.

De todos modos estoy pensando que la tendencia va a cambiar, especialmente para el trabajo de homotopy de tipo teórico, de verdad estoy seguro de que en un no muy lejano futuro más matemáticos utilizará el tipo de teoría como base de fondo (que probablemente muchos ya lo hacen sin saber), así que es sólo una cuestión de tiempo, o al menos eso es lo que yo pienso.

Espero que esto ayude.