Encontrar el determinante de una matriz

Question

Me da $A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} $ and B = $ \begin{pmatrix} e & f\\ g & h \end{pmatrix}$ cuyos elementos son no-cero de reales.

Si $BA = I$ donde $I$ $2 \times 2$ matriz identidad y $D$ es el valor del determinante de a $B$, y luego encontrar el valor de $D$

Suponga que cuatro se dan opciones para la respuesta correcta (que es $\frac{d}{e}$) y sólo una es la correcta. ¿Cómo puedo encontrar la respuesta correcta rápidamente?

AÑADIÓ:

La respuesta sugerida en mi módulo es $\frac{d}{e}$, por lo que voy a suponer para derivar a ese punto.

Answer 1

El determinante de a $B$ está dado por $eh-gf$ (ver aquí). Presumiblemente, la pregunta se pide que describa esta cantidad en términos de $a,b,c,d$. En ese caso, aquí hay algunos hechos que usted puede combinar para encontrar la respuesta:

• $\det(XY)=\det(X)\det(Y)$ para todas las matrices $X$ $Y$

• $\det(I)=1$

• $\det(A)=ad-bc$

Estos hechos muestran que $D=\det(B)=\frac{1}{ad-bc}$. Ahora tenga en cuenta que las entradas de $B=A^{-1}$, en términos de las entradas de $A$, son (ver aquí) $$B=\begin{pmatrix}\frac{d}{ad-bc}\,\,\,\, & \frac{-b}{ad-bc}\\ \stackrel{\vphantom{g}}{\frac{-a}{ad-bc}}\,\,\,\, & \frac{c}{ad-bc}\end{pmatrix}$$ Por lo tanto, $\displaystyle e=\frac{d}{ad-bc}$, por lo que el $\displaystyle\frac{d}{e}=ad-bc$, lo cual es incorrecto. La respuesta correcta es $\displaystyle\frac{e}{d}=\frac{1}{ad-bc}$.

Answer 2

Sugerencia $\: $ multiplicativo mapas $\rm\:d\:$ preservar productos tan inversos $\rm\ A\:B = 1\ \Rightarrow\ d(A)\:d(B) = d(1) = 1\:.\ $

Nota: $\rm\ 1^2 = 1\ \Rightarrow\ d(1)^2 = d(1)\ $ % que $\rm\ d(1) = 1\ $si el destino es un dominio y $\rm\ d\not\equiv 0\:.$