Estoy estudiando cálculo en mi y me encontré con algo raro:
Es el derivado de $x^n$ $n\cdot x^{n-1}$, y la derivada de cualquier constante es $0$. También, cualquier constante $x = x^1$. Sin embargo, el derivado de $x^1$ ($x$ ser cualquier constante entera) parece ser $1$: $n\cdot x^{n-1} = 1\cdot x^{1-1} = x^0 = 1$. ¿Qué está fallando en mi razonamiento?
Deje $a$ ser un número y $D$ ser el operador diferencial (la derivada). Sólo por diversión, usaremos la notación $x\mapsto f(x)$ a representar la función de $f$. Esta notación se supone que es muy intuitivo: en ella $x$ es un elemento arbitrario en el dominio de $f$ $f(x)$ es el número que se asigna a bajo $f$.
Sabemos que $$D(x\mapsto x^n) = x\mapsto nx^{n-1}\tag{1}$$ and that $$D(x\mapsto a) = x\mapsto 0\tag{2}$$
Entonces, ¿eso quiere decir que $D(x\mapsto a^n) \stackrel{?}= x\mapsto na^{n-1}$? No. Por supuesto que no. $a^n$ es sólo otro número, entonces, seguir la regla de $(2)$ para obtener $$D(x\mapsto a^n) = D(x\mapsto b) = x\mapsto 0$$ where $b=a^n$.
Bien, en primer lugar
$f(x) = x = x^1$ no es una función constante por cualquier tramo de la imaginación.
Se dijo entonces que la reemplace con una constante de modo que
Deje $f(9) = 9 = 9^1$. Ahora, técnicamente esta es una función, pero es una función que se asigna a partir de un espacio que solo tiene un punto. No es una función que tiene cualquier tipo de variación en todos. Existe en un solo punto.
El derivado $f'(x) = \lim_{x+\delta x \rightarrow x} \frac{f(x + \delta x) - f(x)}{\delta x}$ que mide la tasa de variación simplemente no tiene ningún sentido cuando se $x$ nunca varía. Al $x = 9$ todos los $x$ siempre; no hay ningún otro $x$ en existencia y $\delta 9 = 0$ siempre porque $9$ nunca varía, es siempre 9, dicha expresión no tiene ningún sentido.
Tendría que igual $f'(9) = \frac{f(9 + \delta 9) - f(9)}{\delta 9} = (9-9)/0= 0/0$ que es indefinible.
Ahora se nota que $f(x) = x^n$$f'(x) = n*x^{n-1}$. Así que si usted tiene $f(x) = 9 = 9*x^0$ uno podría suponer $f'(x) = 9*0*x^{n-1} = 0$. Que casi estar en lo correcto.
$dx^n/dx = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h} = \lim \frac{x^n + h*x^{n-1} + {n \choose 2}h^2x^{n-2} +.... + h^n - x^n}{h} = \lim x^n/h + hn*x^{n-1} + {n \choose 2}h*x^{n-2}+... - h^{n-1} - x^{n}/h= \lim hn*x^{n-1}/h = nx^{n-1}$. Pero esto supone $n > 0$. Si $n = 0$ obtenemos $dx^n/dx = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h}= \lim \frac{(x+h)^0 - x^0}{h} = \lim \frac 0 h = 0$.
No mate de cómo se mire: si $f(x) = k$$f'(k) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim \frac{k-k}{h} = \lim \frac 0h = 0$.
No creo que entender la definición de un derivado. Volver a la definición de un derivado, y la revisión del primer principio. Usted está tratando de tomar la instantánea de la tasa de cambio de cualquier función. Hay una clara diferencia entre el $f(x) = x$ y $f(x) = c$, $c$ $\epsilon$ $\mathbb{R}$. El poder de la regla, $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ sólo se aplica a las funciones de donde $x$ es la variable. Cuando la función es una constante, lo que significa que la tasa de cambio es de 0. En tu ejemplo, que usted está usando $x$ como un marcador de posición para un valor constante, y que es funcionalmente diferente del uso de $x$ como una variable.
La próxima vez que usted tiene una pregunta acerca de derivados, siempre puede asegurarse de si tiene sentido con el primer principio de derivados:
$$\frac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$
Un montón de gente devaluar este teorema, pero es muy importante y fundamental en el cálculo de las pruebas.
Si el grado de su función es baja, también se puede pensar de las funciones de forma gráfica y tratar de imagen es la tasa de cambio. En este caso, si el pensamiento de la diferencia entre el $f(x) = x$ $f(x) = c$ (en su caso, por error, se utiliza x), entonces quieres ver el fallo en su razonamiento.
Por favor, tenga en cuenta que una constante no es una función constante. Podemos tratar de derivar funciones, que sin duda puede derivar constante de funciones, pero ciertamente no se derivan de las constantes. Así que, sí, de todos modos, la derivada de una constante no tiene ningún sentido. Otra observación preliminar : la expresión $x^n$ en la función de $f : x \mapsto x^n $ es el valor de la función en $x$, no la función. Si usted escribe la función de $x^n$ (o peor $x^n$ solamente) usted debe tener en cuenta que es sólo una (mala) la notación abreviada. Por ejemplo, usted realmente no puede derivarse $x^n$ $c$ que se derivan de las funciones $f : x \mapsto x^n $$g : x \mapsto c$. Si usted se olvida de que puede conducir a errores...
Lo que falla en tu razonamiento es el uso de la $x$ símbolo con $2$ diferentes significados sin darte cuenta. Cuando usted escribe $x=x^1$ e decir $x$ es una constante que está bien, podría ser, incluso si generalmente utilizamos $x$ como un nombre de variable. Pero cuando usted dice que usted se derivan $x^1$ y su derivada es $1$, implícitamente, se deriva la función identidad ($Id : x \mapsto x $) donde $x$ representa ya no es constante. Trate de usar diferentes nombres para sus constantes y sus variables en función de las definiciones y se debe aceptar. Por ejemplo, si desea una función constante cuyo valor es $x$ escritura $f : t \mapsto x $ y si realmente no es necesario el nombre de $x$ la constante que podría utilizar esta forma más común : $f : x \mapsto c $ donde $c$ es la constante y $x$ la variable.
Hay dos enfoques para el cálculo; uno basado en funciones, y uno basado en variables.
En la función de enfoque basado, usted tiene que considerar cuál es la función que usted está diferenciando. Usted dice que $x$ es una constante; en consecuencia, no tiene sentido preguntar por la derivada de la función $f$ definido por $f(x)=x$; que la ecuación introduce $x$ como una variable ficticia, y así, ahora tiene dos contradictorios significados de la carta $x$!
Usted puede en lugar de considerar la función de $f(t) = x$. Entonces, para hacer el cálculo correctamente, usted tendría que usar la regla de la cadena: $f'(t) = 1 \cdot g'(t)$ donde $g$ está dado por $g(t) = x$.
En la variable de enfoque basado, usted siempre tiene $\mathrm{d}(x^n) = n x^{n-1} \mathrm{d}x$ no importa lo que las propiedades de $x$. Si $x$ es una constante, entonces usted además ha $\mathrm{d}x = 0$. Por lo tanto, su cálculo debe ir $\mathrm{d}(x^1) = 1 \cdot \mathrm{d} x = 0$.
Sin embargo, no tiene sentido preguntar por $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}$ en este valor; es básicamente una $0/0$ de error. Pero en el formalismo es probable que esté más familiarizado con el, no tiene sentido preguntar por la derivada con respecto al $x$ si $x$ no es una variable.
Si $t$ es una variable, sin embargo, nos podemos preguntar por la derivada con respecto al $t$. Y si $x$ es constante con respecto a $t$, por la regla de la cadena obtenemos
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(x^1) = 1 \cdot x^0 \cdot \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 1 \cdot 0 = 0$$
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