Condiciones de coherencia y equivalencias monoidales estrictas

Question

Considere lo siguiente: dos categorías monoidales $({ \cal C}, \otimes )$ y $({ \cal D}, \odot )$ y un functor $F:{ \cal C} \to { \cal D}$ que da una equivalencia (de las categorías ordinarias) entre ${ \cal C}$ y ${ \cal D}$ . Además, asumamos que también tenemos $$ F(X \otimes Y) = F(X) \odot F(Y), ~ \text { for } X,Y \in { \cal C}. $$ ¿Se deduce automáticamente de esto que $F$ es una equivalencia (estricta) de las categorías mondoidales? Es decir, ¿hacer lo necesario condiciones de coherencia se mantiene automáticamente?

Para mí esto parece obviamente cierto. Sin embargo, hay veces en que lo que para mí eran "verdades obvias" en la teoría de categorías generales, resultaron ser cualquier cosa menos. Por lo tanto, me gustaría tener una voz de confirmación. Gracias.

Answer 1

No he podido encontrar un contraejemplo explícito, pero creo que existe. El problema consiste en encontrar una categoría $\mathcal{C}$ equipado con un producto tensorial $\otimes$ y una unidad $I$ de manera que haya dos distinto estructuras de coherencia $(\lambda, \rho, \alpha)$ . Hacemos $\mathcal{C}$ en una categoría monoidal utilizando la primera estructura de coherencia, y tomamos $\mathcal{D}$ para ser lo mismo que $\mathcal{C}$ pero con la segunda estructura de coherencia $(\lambda', \rho', \alpha')$ en su lugar. Supongamos que $\alpha \ne \alpha'$ . Entonces, el functor "identidad" $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ es un isomorfismo de categorías pero no es un functor monoidal fuerte bajo las obvias transformaciones de identidad $I \to F I$ , $F A \otimes F B \to F (A \otimes B)$ porque el diagrama de abajo no conmuta:

           

(Un argumento similar puede hacerse para el caso $\lambda \ne \lambda'$ o $\rho \ne \rho'$ .)

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Básicamente, lo que quiero decir es que como la teoría de las categorías monoidales con dos estructuras de coherencia es una teoría consistente esencialmente algebraica, tal categoría $\mathcal{C}$ existe: basta con tomar la categoría libre de este tipo generada por un objeto. Desgraciadamente, todavía hay que demostrar que esta categoría tiene dos distinto ¡estructuras de coherencia!