Si $\text{Area} (A) = \text{Area} (B)$ y $\text{Perimeter}(A) = \text{Perimeter}(B) \implies A \cong B$ ?

Question

Si tengo un $n$ -gon $A$ y un convexo $n$ -gon $B$ con el mismo perímetro y la misma área, hace $A\cong B$ ?

Editar : ¿Cuál es la respuesta si sustituyo convexo por regular?

Answer 1

El hexágono convexo $A$ con vértices $(0,3),(2,2),(3,0),(2,-2),(-2,-2),(-2,2)$ y el hexágono convexo $B$ con vértices $(0,3),(2,2),(2,-2),(0,-3),(-2,-2),(-2,2)$ no son congruentes, aunque cada una tiene un área $20$ y el perímetro $8+4\sqrt5.$

Alternativamente, consideremos el pentágono convexo con vértices $(0,0),(-1,2),(0,5),(5,0),(2,-1)$ y el pentágono convexo con vértices $(0,0),(-1,2),(0,5),(5,0),(3,-1).$

Answer 2

Si ambos son regulares, basta con una de las igualdades dadas para demostrar que son congruentes.

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Por ejemplo, indiquemos $a_1, a_2$ las aristas de los dos polígonos perimetrales iguales, entonces obtenemos $na_1=na_2$ . Claramente $a_1=a_2$ . Lo mismo ocurre con la zona.