Determinar si converge o diverge $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+(-1)^n} $

Question

Estoy teniendo muchos problemas para averiguar este.

Determinar si converge o diverge $\sum_{i=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}$

Prueba de cociente y raíz no son concluyentes y estoy en una pérdida. ¿Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Deje que

$$S_n=\sum_{k=2}^n \frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}$$

Tomar la suma de dos términos consecutivos:

$$\frac{(-1)^{2n}}{2n+(-1)^{2n}}+\frac{(-1)^{2n+1}}{2n+1+(-1)^{2n+1}}=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n}=\frac{-1}{2n(2n+1)}$$

Así $S_{2n+1}$ converge. Puesto que los términos tienden a $0$, $S_{2n}$ también convergente, hasta el límite del mismo.

Answer 2

Se puede observar que, como $n \to \infty$, tenemos $$\begin{align} \frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}&=\frac{(-1)^n}{n}\times\frac1{1+\frac{(-1)^n}{n}}\\\\ &=\frac{(-1)^n}{n}\left(1-\frac{(-1)^n}{n}+\mathcal{O}\left(\frac1{n^2} \right)\right)\\\\ &=\frac{(-1)^n}{n}-\frac1{n^2}+\mathcal{O}\left(\frac1{n^3} \right) \end {Alinee el} $$ then, for some integer $$%p,

$$ \underbrace{\sum_{n\geq p} \frac {(-1) ^ n} {n + (-1) ^ n}} _ {{\color {rojo} {\text {condicional CV}}} = \underbrace {\sum_ {n\geq p} \frac {(-1) ^ n} {n}} _ {{\color {rojo} {\text {condicional CV}}}-\underbrace {\sum_ {n\geq p} \frac1 {n ^ 2} + \sum_ {n\geq p} \mathcal {O} \left (\frac1 {n ^ 3} \right)}_{{\color{blue}{\text{absolutely CV}}} $$

y su primera serie es condicionalmente convergente.

Answer 3

Vamos a escribir

$$\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n} = \left ( \frac{(-1)^n}{n+(-1)^n} - \frac{(-1)^n} {n} \right) + \frac{(-1)^n}{n}.$$

El término entre paréntesis es igual a $-1/[(n+(-1)^n)n].$ en valor absoluto, estos términos son $\le 1/(n-1)^2.$ por lo tanto la serie de estos términos converge absolutamente. La serie $\sum (-1)^n/n$ converge por la prueba de la serie alterna. Así que nuestra serie es la suma de dos series convergentes, por lo tanto convergen.

Answer 4

Términos son alternativamente positiva y negativa, disminución en valor absoluto y convergen a $0$, por lo que la sseries converge (esta es la prueba de la serie alterna), pero no converge absolutamente.