Infinitas soluciones enteras para las ecuaciones $x^3+y^3+z^3=1$ y $x^3+y^3+z^3=2$

Question

¿Cómo se muestra que la ecuación $x^3+y^3+z^3=1$ tiene infinitas soluciones en números enteros? ¿Y $x^3+y^3+z^3=2$?

Answer 1

Se puede reducir la primera ecuación a $$x^3 = -y^3, z = 1$$ con infinitas soluciones obvias. Este documento detalla otras familias de soluciones.

La segunda ecuación tiene soluciones $(x,y,z)\equiv (6t^3+1, 1-6t^3, -6t^2)$ que (por lo que yo sé) se encuentran por construcción (es decir, tienes que adivinarla).

Answer 2

Para \begin{align} x^3+y^3+z^3&=1\tag{1} \end{align> hay al menos estas familias de soluciones uniparamétricas \begin{gather}> (9t^4)^3 + (-9t^4 \mp 3t)^3 + (\pm 9t^3 + 1)^3 = 1\tag{2}\\ (3888t^{10} - 135t^4)^3 + (-3888t^{10} - 1296t^7 - 81t^4 + 3t)^3 + (3888t^9 + 648t^6 - 9t^3 + 1)^3 = 1\\ \implies (27tu(144u^2-5))^3 + (-3t(27u(16u(3u+1)+1)-1))^3 + (9u(72u(6u+1)-1) + 1)^3 = 1, u=t^3\tag{3}\\ (-1679616a^{16}-559872a^{13}-27216a^{10}+3888a^7+63a^4-3a)^3 +\\ + (1679616a^{16}-66096a^{10}+153a^4)^3 +\\ + (1679616a^{15}+279936a^{12}-11664a^9-648a^6+9a^3+1)^3 = 1\\ \implies (3(-559872u^5-186624u^4-9072u^3+1296u^2+21u-1)a)^3 +\\ + (9(186624u^4-7344u^2+17)au)^3 +\\ + (1679616u^5+279936u^4-11664u^3-648u^2+9u+1)^3 = 1, u=a^3\tag{4} Beck atribuye $(2)$ a Mahler (1936). Para $(3)$ ver mathpages. $(4)$ es el resultado de establecer $b=1$ en una identidad debido a Kohmoto, citado por Wolfram, "Algebraic Identity".

Las soluciones a $(1)$ son un caso especial de "casi aciertos de Fermat". Algunas se dan en OEIS: \begin{align> A050787_i^3-A050789_i^3-A050788_i^3&=1\\ -A050791_i^3+A050793_i^3+A050792_i^3&=1 \end{align>

Referencias:

Michael Beck et al. Nuevas representaciones enteras como la suma de tres cubos. Matemáticas de la Computación, 76, no.259 (Jul 2007), p.1683-1690. S 0025-5718(07)01947-3

Kurt Mahler. Nota sobre la hipótesis K de Hardy y Littlewood. Revista de la Sociedad Matemática de Londres, 11 (1936), p.136–138.

Answer 3

Para $x^3+y^3+z^3=1$ es trivial - una familia infinita de soluciones es $(1, n, -n)$, y permutaciones de eso.

Para $x^3+y^3+z^3=2$ no estoy tan seguro de que haya infinitas soluciones. ¿Estás simplemente haciendo una hipótesis, o sabes que es cierto?