¿Por qué están más interesados en curvas elípticas que otras curvas algebraicas matemáticos?
Debe haber alguna razón que motiva a matemáticos a las curvas elípticas de investigación específicamente.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Número de teóricos (aritmética de los geómetras) están interesados en la búsqueda de puntos racionales en todos los diophantine ecuaciones. El caso de curvas elípticas es el primero que no sabemos cómo resolver:
Diophantine ecuaciones en una variable, es decir, los polinomios $p(x)$ en una variable con coeficientes enteros: es fácil encontrar todas las raíces racionales de un polinomio $p(x)$ con coeficientes enteros, utilizando el llamado racional de la raíz teorema.
Diophantine ecuaciones en dos variables, es decir, planos de curvas dada por $f(x,y)=0$ donde $f$ es un polinomio en dos variables con coeficientes enteros. Podemos clasificar las curvas de acuerdo a su género.
Género 0: (no singular) de las curvas de género $0$ son líneas o secciones cónicas. Tienen ninguno o un número infinito de puntos racionales, y es bien conocido cómo determinar todos los puntos (por ejemplo, la Hasse-Minkowski teorema nos dice que cuando hay al menos un punto racional).
Género 1: la (no-singular) de las curvas de género $1$, con al menos uno de los puntos racionales son curvas elípticas, que puede tener exactamente $1$ de los puntos, un número finito de puntos, o un número infinito de puntos. Mucho se sabe sobre curvas elípticas, pero no hemos sido capaces de demostrar que no existe un algoritmo que calcule todos los puntos racionales de una curva elíptica en una cantidad finita de tiempo. No es un candidato para un algoritmo, conocido como el descenso, pero este método no puede terminar si el Tate-Shafarevich grupo es infinito.
Género $\geq 2$ ("mayor de género"): Faltings teorema dice que un (no singular) de la curva de género $\geq 2$ tiene sólo un número finito de puntos racionales, sino encontrar todos los puntos racionales de una determinada curva de más de un género puede ser extremadamente difícil, y casi nada se sabe si el género es $\geq 4$.
Diophantine ecuaciones con tres o más variables... ni siquiera sabemos cómo encontrar los puntos racionales en curvas! Y, sin embargo, hay algunas ecuaciones que han fascinado a los matemáticos durante siglos...
