Integrar:

Question

$$\int_0^1\frac{\sqrt{1+e^{-x}}}{e^x}\ dx$$

Aquí está mi trabajo. Déjeme por favor saber si mi respuesta es correcta o aceptable ya que tal vez no simplificar lo suficiente.

Answer 1

Notice, let $1+e^{-x}=u^2\implies -e^{-x}dx=2udu$ $$\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-e^{-x}}}{e^x}dx=-\int_{0}^{1}(e^{-x})\sqrt{1-e^{-x}}dx$$ $$=-\int_{\sqrt 2}^{\sqrt{1+e^{-1}}}u(2udu) $$ $$=-2\int_{\sqrt 2}^{\sqrt{1+e^{-1}}} u^2du$$ $$=-2\left[\frac{u^3}{3}\right]_{\sqrt 2}^{\sqrt{1+e^{-1}}}$$ $$=\frac{2}{3}\left[2\sqrt 2-\left(1+\frac{1}{e}\right)^{3/2}\right]$$

Answer 2

Usted puede hacer esto mucho más fácil con la sustitución $u=1+e^{-x}$. El resto es sencillo.

Answer 3

Que $t^2=1+e^{-x}$ $x \in [0,1]$ así, $t \in [1+\frac{1}{e},2]$ $$\begin{align} 2tdt &=-e^{-x}dx\\ \int_0^1 \frac{\sqrt{1-e^{-x}}}{e^x}dx &=-2\int_2^{1+\frac{1}{e}}t^2dt \end {alinee el} $$

Answer 4

Pista: tenemos $$ \int_{x} \frac{\sqrt{1+e^{-x}}}{e^{x}} = \int_{x} e ^ {-x} \sqrt {1 + e ^ {-x}} = \int_{x}\frac{-2}{3}D (1 + e ^ {-x}) ^ {3/2} = \frac{-2}{3} (1 + e ^ {-x}) ^ {3/2} $$ por la regla de la cadena y el Teorema fundamental del cálculo.