¿Uso de la constante de Fibonacci recíproco?

Question

La constante de Fibonacci recíproco ($\psi$) se define como

$$\psi=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{F_k}$$

donde $F_{k}$ es la $k^{th}$número de Fibonacci.

Se ha demostrado la irracionalidad de $\psi$. ¿El Fibonacci recíproco constante tienen un uso en las matemáticas o simplemente es notable porque es el valor de una suma interesante?

Answer 1

Yo diría que es notable, porque 1) es una cosa bastante natural para escribir y preguntar acerca de, y 2) se ha demostrado irracional - la irracionalidad de las pruebas no son fáciles de conseguir, una vez que se han agotado las cosas como las raíces cuadradas, raíces cúbicas, etc. No estoy al tanto de cualquier lugar donde el número sube.

EDIT: es, sin embargo, se menciona en estos lugares:

Un F Horadam, Elíptica funciones y Lambert de la serie en la suma de los recíprocos en cierta recurrencia generado secuencias, Fib Q 26 (1988) 98-114.

P Griffin, la Aceleración de la suma de Fibonacci recíprocos, Fib P 30 (1992) 179-181.

F-Z Zhao, Notas de recíproca serie relacionada con la de Fibonacci y los números de Lucas, Fib Q 37 (1999) 254 a 257.

y también en los papeles donde es, y más en general las sumas de tipo similar, se demuestran irracional.

Answer 2

Hasta donde yo sé, su constante $\psi$ no surgen naturalmente de otros que en sólo estudiando desde el primer momento. Sin embargo, un constante hace su aparición de una manera sorprendente. Que es, $$\beta:=1+\sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{\mathrm F_{2k}},$$or rather its reciprocal $1/\beta\approx0.3944196702$, surge como la solución a un problema en el análisis de los delimitada real secuencias, que es la pregunta del título de mi artículo que aborda es: "¿Cómo lentamente puede un almacén de clústeres de secuencia?". Es completamente respondida y en el documento de seguimiento "de Un máximo de secuencia separada". Los dos artículos son publicados en Functiones et Approximatio, volúmenes 46.2 (2012) y 48.1 (2013), que se puede leer si usted tiene acceso a una biblioteca que se suscribe a Proyecto Euclid (los resúmenes están disponibles gratuitamente en línea). Cuando me establecí en la investigación, yo no tenía idea de que un número con este tipo de estructura que habría de venir. Si esto le interesa, me puede dar más detalles.