Si un grupo nilpotente de $A$ actúa en un grupo $G$ $G$ es soluble.

Question

Teorema: Si actúa un grupo nilpotente de $A$ $G$ por automorphism y $C_G(A)=e$ $G$ es soluble.

Espero que la declaración del teorema es cierto. Debe pertenecer a Hartley, pero cuando yo busqué en Google no pude encontrar el el teorema.

Si alguien ofrece la entera declaración del teorema con fuente, estaría agradecido.

Answer 1

Si $A$ es un subgrupo de ${\rm Aut(G)}$$C_G(A)=1$, entonces uno dice que $G$ actos de punto fijo-libremente a $G$ por automorfismos.

El punto fijo-libre automorphism conjetura afirma que si un grupo finito $G$ admite un punto fijo-libre automorphism grupo $A$ (y, si $A$ es no cíclicos, supongamos que $gcd(|G|, |A|) = 1$), entonces G es soluble.

Varios casos especiales se sabe, por ejemplo, ver el artículo de la Solubilidad de los grupos finitos de admitir a un punto fijo-libre automorphism de orden $rst$ por Pedro Rowley.

El nilpotent caso se ha demostrado recientemente en el artículo Nilpotent de punto fijo-libre automorphism grupos y regular abelian Carter subgrupos por Jabara y Spiga:

Teorema (Jabara, Spiga 2013): Vamos a $G$ ser un grupo finito y deje $A$ ser un nilpotent grupo que actúe en $G$ como un grupo de automorfismos con $C_G(A) = 1$. A continuación, $G$ es soluble.