¿Las diferentes notaciones implican diferentes propiedades de un número?

Question

He tenido una discusión con un amigo mío y me gustaría que alguien me aclarara un poco las cosas.

Entonces, digamos que tenemos un número entero, ocho o diecisiete, por ejemplo, no importa. Tiene todas las propiedades de un número entero. En particular, puede ser par o impar, es decir, tiene una propiedad de paridad.

Desde otro punto de vista, los números enteros son un subconjunto de los números racionales, por lo que los enteros 8 y 17 pueden escribirse como cocientes 8/1 y 17/1, y también escribirse como racionales 8,0 y 17,0.

La pregunta es:

¿Mantienen los números enteros sus propiedades cuando se expresan como un elemento de cualquiera de sus superconjuntos? Por ejemplo, si el 8 es par, ¿es posible decir que el 8.0 racional también es par, así como el 8.0 real?

Si no, ¿por qué? Números 8, 8.0, 8/1 todas expresan la misma entidad, por lo que ¿la notación influye en las propiedades de un objeto?

Answer 1

Digamos que definimos un número $n$ para ser incluso si $n \in E$ , donde: $$E=\{ n \in \Bbb{Z} \ \mid \ (\exists t \in \Bbb{Z})(n=t+t)\}$$

Ahora, $8 \in E$ porque $8=4+4$ . Sin embargo, sólo los números enteros pueden ser pares porque hemos definido $E$ como un subconjunto de enteros en nuestra notación de construcción de conjuntos, por lo que esta definición probablemente sólo será útil si estamos pensando en enteros.

Sin embargo, si nos fijamos en $\frac 8 1 \in \Bbb{Q}$ y pensar en términos de números racionales, no cambia el hecho de que $\frac 8 1=8 \in E$ . Además, si observamos $8.0 \in \Bbb{R}$ y pensar en términos de números reales, sigue sin cambiar el hecho de que $8.0=8 \in E$ . Por lo tanto, sí, $8$ sigue siendo incluso cuando se piensa en los números racionales o reales.

Sin embargo, la pregunta es, ¿por qué es importante? Los números pares son una propiedad que sólo se aplica a los números enteros, por lo que cuando pensamos en términos de números racionales o reales, la propiedad de la paridad simplemente no aparece mucho. No es muy útil hablar de "números racionales pares" o "números reales pares", ya que ambos son lo mismo que "números enteros pares". Si miramos $8$ como $\frac 8 1$ o $8.0$ no cambia el hecho de que $8$ es par, pero esa propiedad probablemente no es relevante cuando pensamos en $8$ en estos contextos.

Answer 2

Un incluso número es uno que es $2$ por un número entero. Un impar es un número entero que no es par.

$8$ es un número par sin importar cómo se escriba - como tú mismo señalas, las distintas notaciones son simplemente formas de denotar el mismo objeto matemático.

Sin embargo: Escribir expresiones matemáticas es una forma de comunicar ideas a otros seres humanos . Y la forma de escribir las cosas influirá en las propiedades de los números que estarán en la mente del lector.

Así que si usted tiene una letra variable y declaró que se supone que es algún número, elegido de una manera que no parece forzar a ser un número entero, entonces será confuso para hablar de si es par, porque el contexto no ha preparado al lector para pensar en la paridad y la imparidad como propiedades relevantes en el contexto. En ese caso es buena comunicación no decir "si $x$ es par, entonces ...", sino algo como "si $x$ es un número entero par, entonces...". Esto asegura al lector que es consciente de que está haciendo algo ligeramente inusual, y significa que no tiene que preocuparse de si a se perdió algo que haría que fuera natural pensar en la relación entre $x$ y los enteros.

Answer 3

Curiosamente, Friedrich Engels el coautor, con Karl Marx, del "Manifiesto Comunista", en un libro sobre la Filosofía de la ciencia se refiere a que el 7 es "impar en base 10 pero incluso en base 5". Esto es, por supuesto, falso. Es cierto que, en base 5, el 7 se escribe como 12. Sin embargo, "último dígito par" no es lo mismo que "número par" en base impar. Un número, n, es par si y sólo si n guijarros pueden dividirse en dos conjuntos con el mismo número de guijarros cada uno, lo que no tiene nada que ver con el sistema de numeración.

Answer 4

No voy a repetir los puntos expuestos en otras respuestas.

Voy a señalar que a veces el contexto en el que aparece una forma particular de un número importa en cuanto a su interpretación/significado de tal manera que hace que ciertas propiedades sean irrelevantes.

Por ejemplo, no es habitual escribir $8.0$ a menos que el decimal sirva para algo, por ejemplo para indicar la precisión de una medida. Por lo tanto, se entiende que la cantidad real que se mide está en el intervalo $[7.95,8.05).$ En este caso, ni siquiera nos referimos a un solo número, por lo que la paridad es irrelevante.

Uno nunca escribiría $\frac81$ a menos que sea útil hacerlo. Por ejemplo, las probabilidades de cada lado para un $9$ de un dado de una cara. En este caso, el concepto de paridad no es aplicable; los cocientes de probabilidades no suman de forma significativa (al menos no en todos los casos).

Así que las propiedades del propio número no cambian (es decir $8=8.0=\frac81$ como números puros, representantes de la propiedad del "ocho") como se ha señalado en otras respuestas. Sin embargo, el uso que se hace de ese número puede hacer que ciertas propiedades sean irrelevantes o inaplicables.

Answer 5

La forma de llamar a un objeto no influye con su propiedad. Es importante entender esto. En matemáticas, cuando se habla de un objeto abstracto hay que nombrarlo necesariamente. Es imposible hablar de algo sin darle un nombre.