Distinguir entre esferas sólidas y esferas huecas (de igual masa)

Question

Si hay dos esferas (hueca y maciza) con igual masa y radio y queremos encontrar la esfera hueca sin usar ningún equipo.

¿Cuál es la mejor manera de reconocer la esfera hueca y la esfera sólida?

Answer 1

Deja que ambos rueden por un plano inclinado. La esfera hueca se acelerará más lentamente que la sólida (debido a sus diferentes momentos de inercia).

Para una esfera sólida, el momento de inercia es $$I = \frac{2}{5}mr^2$$ con masa $m$ y el radio $r$ .

Para una esfera hueca es $$I = \frac{2}{3}mr^2$$ Por tanto, la esfera hueca tiene un mayor momento de inercia y acelerará más lentamente con el mismo par:

$$M = I \frac{d\omega}{dt}$$ con velocidad angular $\omega$ y el par de torsión $M$ .

Answer 2

Si no se permite "ningún equipo" supongo que eso elimina el uso de una rampa y dejar que rueden por ella (respuesta por otra parte buena de @andynitrox).

Sin embargo, asumiendo que tus manos no son "equipo", si cogieras una bola en cada mano y trataras de girar tus manos hacia delante y hacia atrás tan rápido como pudieras, encontrarías que la frecuencia que podrías alcanzar con la bola sólida sería mayor - de nuevo debido al menor momento de inercia.

Lo que has hecho ahí es crear un péndulo de torsión sin usar hilo de torsión (es decir, usando sólo las manos). Suponiendo que tus manos tengan más o menos la misma fuerza, puedes hacer girar más rápido el objeto con menor inercia. Si tienes dudas sobre si tus dos manos tienen la misma fuerza, puedes intercambiarlas y repetirlo.

Otra variante interesante de la respuesta de @andynitrox es ver si las bolas empiezan a deslizamiento cuando bajan la rampa. Resulta que la fuerza de fricción necesaria para que una bola en una rampa no se deslice es una función del momento de inercia. Puedes ver una derivación detallada de (la mayor parte de) esto en esta respuesta anterior escribí . La implicación es que la bola sólida rodará sin resbalar en una pendiente más pronunciada que la correspondiente bola hueca - el ángulo crítico es $\tan^{-1}\left(\frac{7\mu}{2}\right)$ para la esfera sólida, y $\tan^{-1}\left(\frac{5\mu}{2}\right)$ para el hueco.

La ventaja del método del "patín" es que le permitiría hacer la comparación de uno en uno. Si tienes la rampa con el ángulo adecuado (con ángulo entre los dos ángulos críticos) puedes saber si una sola bola es hueca o sólida sin necesidad de comparar velocidades. Pero se necesitaría una especie de "equipo".

Answer 3

Andynitrox da una gran respuesta, pero parece que considera que una rampa es un equipo. Sin embargo, como el momento de inercia describe el rotativo movimiento de cada objeto, en realidad no necesitas que las esferas se muevan traslacionalmente en absoluto.

Si coges cada esfera y la colocas en una superficie plana e intentas hacerla girar sobre el eje vertical (como harías con una pelota de baloncesto) puedes comparar la velocidad angular, $\omega$ con la que gira cada una de las esferas. Tampoco es necesario medir cuantitativamente; basta con saber que la esfera hueca girará más lentamente . Esto se debe a que la esfera hueca tiene la misma cantidad de masa que la esfera sólida, pero debido a que la masa se encuentra más lejos, en promedio, del eje de rotación, no aumentará tanto su velocidad angular, para la misma cantidad de par (su giro).

Aunque habrá cierta incertidumbre en la cantidad exacta de par que proporcione a cada esfera, puede realizar varias pruebas. Además, la diferencia en el momento de inercia debería ser suficiente como para notar una diferencia inequívoca.

Answer 4

Usaba mi nudillo, golpeaba cada esfera y escuchaba el tono. La esfera sólida tendría un tono más alto.

Answer 5

Ningún equipo es un problema.
Experimentos con planos inclinados: ¿Colocar dos patas de la mesa del comedor sobre un par de libros la convierte en "equipamiento"? ¿La pendiente del desagüe de la ducha o la bañera cuenta como equipamiento?
¿Qué te parece un cuenco de agua? Haz girar las bolas alrededor de un eje vertical mientras las dejas caer: la coincidencia de la velocidad y la falta de un equipo de cronometraje preciso no importan demasiado, ya que puedes esperar hasta que se hayan ralentizado un factor de diez o más (siempre que puedas ver que están girando, por supuesto).
La secuencia armónica de una bola maciza es diferente a la de una bola hueca; puedes notar la diferencia incluso si los tonos fundamentales están en un orden diferente al que esperas, siempre que tengas la experiencia adecuada. ¿Es tu dedo para golpear o tu oído el equipo...

RSU