Está bien documentado que hay nueve imaginario cuadráticos campos de número de número de la clase 1 y por lo tanto tienen estrecha clase número 1. ¿Sin embargo, hay campos de número cuadráticos imaginario con clase número > 1 y estrecha clase número 1? ¿Si es así, hay muchos de ellos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El estrecho número de clase de un campo de número de $K$ es sólo la cardinalidad de la correspondiente estrecho grupo de clase $\operatorname{Cl^+}(K) = I(K)/P^+(K)$ donde $P^+(K)$ es el grupo de las principales fracciones de los ideales de la $(\alpha) = \alpha \mathcal{O}_K$ cuyo generador de $\alpha \in K$ es totalmente positiva.
Ahora, esto es, básicamente, la parte importante aquí, porque $\alpha$ es totalmente positiva si para cada incrustación $\sigma: K \hookrightarrow \mathbb{R}$, la imagen de $\alpha$ bajo la incrustación $\sigma(\alpha) > 0$.
A continuación, en el caso de que usted está interesado en, digamos al $K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ es un imaginario cuadrática campo, no hay incrustaciones $\sigma: K \hookrightarrow \mathbb{R}$, con lo que la condición para que un director ideal fraccional $(\alpha)$ a pertenecer a $P^+(K)$ es extremadamente satisfechos, por lo tanto $P^+(K) = P(K)$, todo el grupo de las principales fracciones de los ideales.
Por lo tanto, en el caso de $K$ es un imaginario cuadrática número de campo, o más en general, un número de campo, sin nada de incrustaciones, el estrecho del grupo de clase y el grupo clase, en realidad son el mismo y por lo tanto el número de clase y el reducido número de clase también son las mismas.
Añadido: Matt E comentario
Como Matt E comentarios, el ideal de la clase de grupo $\operatorname{Cl}(K)$ es el cociente del estrecho grupo de clase, en virtud de la tercera teorema del isomorfismo para grupos, que es
$$ \operatorname{Cl}(K) = I(K)/P(K) \cong \frac{\frac{I(K)}{P^+(K)}}{\frac{P(K)}{P^+(K)}} = \frac{\operatorname{Cl^+}(K)}{\frac{P(K)}{P^+(K)}} $$
y, por tanto, como se observa en su comentario a continuación, si el estrecho grupo de clase $\operatorname{Cl^+}(K)$ orden $1$, como consecuencia de la clase de grupo $\operatorname{Cl}(K)$ también tiene orden de $1$ y por lo tanto
$$\text{narrow class number} = 1 \implies \text{class number} = 1$$
