Tengo dudas sobre la demostración del teorema Ham-Sandwich descrito en planetmath ( http://planetmath.org/proofofhamsandwichtheorem ) y wikipedia ( http://en.wikipedia.org/wiki/Ham_sandwich_theorem ): Allí se fija uno de los $n$ establece en $\mathbb R^n$ a bisecar y para cada "dirección" $p\in S^{n-1}$ y $t\in\mathbb R$ se consideran todos los hiperplanos con vector normal $p$ que contiene $tp$ . Por el teorema del valor medio y las propiedades de continuidad de la medida de Lebesgue se obtiene $t\in \mathbb R$ tal que el hiperplano correspondiente corte el conjunto en dos partes de igual masa. Sin embargo, puede haber todo un intervalo de tales $t$ y las dos referencias citadas anteriormente afirman que se obtiene un continuo función $t(p)$ si eliges el punto medio de ese intervalo. (El $n-1$ -El teorema bidimensional de Borsuk-Ulam termina la demostración).
Este es el punto que no veo. La prueba en planetmath sugiere fuertemente que este "punto medio-continuidad" se mantiene para cada función continua $f: S^{n-1} \times \mathbb R \to \mathbb R$ que es creciente en la segunda variable y tal que los conjuntos de niveles $\lbrace t\in \mathbb R: f(p,t)=0 \rbrace$ no son intervalos vacíos y compactos.
Un contraejemplo a esta afirmación es $f(p,t)= \|p-e\| t + \varphi(t)$ donde $e$ es cualquier elemento fijo de $S^{n-1}$ y $\varphi(t)$ es una función creciente cuyo $0$ -set es $[0,1]$ (para que los conjuntos de niveles sean compactos). Los conjuntos de niveles son entonces singletons $\lbrace 0\rbrace$ para $p\neq e$ y $[0,1]$ para $p=e$ .
Creo que algo parecido a esto puede ocurrir realmente en la situación de Ham-Sandwich.
Sé que hay otras pruebas que utilizan el $n$ -teorema de Borsuk-Ulam. Pero el que se discute aquí tiene la ventaja de que se obtiene el teorema de Pancake a partir de la $1$ -dimensional de Borsuk-Ulam que es mucho más simple que los casos de dimensiones superiores.
¿He entendido algo mal?
