suficiencia y necesidad de la convergencia de $\sum a_n$ wrt convergencia de $\prod (1 + a_n)$

Question

¿Existe una secuencia $a_n$ de los números complejos tales que $\sum _{i = 0}^\infty a_n$ converge y el producto $\prod _{i = 0}^\infty (1+a_n)$ no converge para cualquier número complejo(no 0).

Y a la inversa, una secuencia $a_n$ s.t. $\prod _{i = 0}^\infty (1+a_n)$ converge a un número complejo distinto de cero. Pero $\sum _{i = 0}^\infty a_n$ no converge.

Todos sabemos que si $\sum _{i = 0}^\infty a_n$ converge absolutamente si el corresp producto converge absolutamente. Así que he intentado alternando serieses como $a_n = (-1)^n /n$$(-1)^n / \sqrt n$, pero que no funcionó. he intentado como $\sum _{i} \sum _ {k} \frac{ e^{2(pi)i/k}}{k}$pero no pude ir furthur. ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

$\textrm{(1) $\sum a_n$ converges, $\prod a_n$ does not}$

Tomar $$\{a_n\}:=\left\{\frac{i}{\sqrt{1}},\frac{-i}{\sqrt{1}},\frac{i}{\sqrt{2}},\frac{-i}{\sqrt{2}},\ldots\right\}$$ Entonces $$\sum a_n=i\sum(-1)^{n-1}b_n$$ donde $$\{b_n\}=\left\{\frac{1}{\sqrt{1}},\frac{1}{\sqrt{1}},\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},\ldots\right\}$$ es una secuencia de reales positivos numbet, no creciente y infinitesimal, por lo tanto, por la serie de Leibniz $$\sum (-1)^{n-1}b_n$$ converge, por lo tanto $\sum a_n$ converge demasiado.

Ahora, considere el infinito producto $\prod (1+a_n)$. Para cada entero positivo $N$, $2N$- producto parcial es $$\prod_{1}^{2N}a_j=\left(1+\frac{i}{\sqrt{1}}\right)\left(1-\frac{i}{\sqrt{1}}\right)\left(1+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)\left(1-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1-\frac{i}{\sqrt{2N}}\right)$$

$$=\left(1-\frac{i^2}{1}\right)\left(1-\frac{i^2}{1}\right)\ldots\left(1-\frac{i^2}{2N}\right)$$

$$=\left(1+1\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\ldots \left(1+\frac{1}{2N}\right)$$

$$=2\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{6}{3}\ldots\frac{2N+1}{N}$$

$$=2N+1$$ Así $$\lim_{N\rightarrow +\infty}\prod_{1}^{2N}(1+a_n)=\lim_{N\rightarrow +\infty} 2N+1=+\infty$$ por lo tanto, también se aparta de la siguiente $$\lim_{N\rightarrow +\infty}\prod_{1}^{N} (1+a_n)=\prod_{1}^{+\infty}(1+a_n)$$

$\textrm{(2)$\prod (1+a_n)$ converges, $\sum a_n$ does not}$

Tome $\{a_n\}$ definido por $$a_{2n-1}:=\frac{1}{\sqrt{n}}$$ $$a_{2n}:=-\frac{1}{1+\sqrt{n}}$$ para cada $n\geq 1$. Entonces $$\sum_{n=1}^{+\infty}a_n=\sum_{n=1}^{+\infty}a_{2n-1}+\sum_{n=1}^{+\infty}a_{2n}$$

$$=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{1+\sqrt{n}}$$

$$=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{1+\sqrt{n}}\right)$$

$$=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n+\sqrt{n}}$$

Pero $n+\sqrt{n}<2n$, por lo tanto $\frac{1}{n+\sqrt{n}}>\frac{1}{2n}$, y así $$\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n+\sqrt{n}}\geq\frac{1}{2}\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n}$$ y se obtiene la divergencia en comparación con la serie armónica.

Ahora bien, en cuanto a la divergencia de infinito producto, considere la posibilidad de: $$\prod_{1}^{\infty}(1+a_n)=\prod_{1}^{\infty}(1+a_{2n})\cdot\prod_{1}^{\infty}(1+a_{2n-1})$$

$$=\prod_{1}^{\infty}(1+a_{2n})\cdot (1+a_{2n-1})$$

$$=\prod \left(1-\frac{1}{1+\sqrt{n}}\right)\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$$

$$=\ldots$$

$$=\prod\frac{\sqrt{n}(1+\sqrt{n})}{\sqrt{n}(1+\sqrt{n})}$$

$$=\prod_{1}^{\infty}1=1$$